Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem, e aplique elas no ponto indicado. Diga se na direção desta derivada neste ponto, a função está crescendo (derivada >0 ), decrescendo ( <0 ) ou se está com crescimento estacionado ( =0 ).
f(x, y)=ln (2 x)y^3, no ponto (12, 20).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=ln(2x)y^3
e pede as derivadas parciais de primeira ordem em (12,20), bem como analisar se, em cada direção, a função está crescendo (derivada >0), decrescendo (derivada <0) ou estacionada (derivada =0).
O conteúdo aqui é derivadas parciais de funções de duas variáveis, usando a regra da cadeia para ln(2x) e a regra de potência para y^-3.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x tratamos y como constante e derivamos ln(2x):
partialpartial xl[ln(2x)r] =12xcdot 2=1x
Como há o fator y^-3 multiplicando,
partial fpartial x(x,y) =1xcdot 1y^3 =1x,y^3

Passo 3

Agora avaliamos em (tfrac12,20):
partial fpartial xl(tfrac12,20r) =1tfrac12cdot 20^3 =1tfrac12cdot 8000 =14000>0
Portanto, na direção de x, a função está crescendo naquele ponto.

Passo 4

Para calcular partial fpartial y tratamos x como constante e derivamos y^-3:
partialpartial yl[y^-3r] =-3,y^-4
Multiplicando por ln(2x) (que é constante em relação a y):
partial fpartial y(x,y) =ln(2x),l(-3y^-4r) =-3,ln(2x)y^4

Passo 5

Avaliando em (tfrac12,20), note que ln(2cdottfrac12)=ln(1)=0:
partial fpartial yl(tfrac12,20r) =-3,020^4=0
Logo, na direção de y, a função está com crescimento estacionado naquele ponto.

Resposta

partial fpartial x(x,y)=1x,y^3, em l(tfrac12,20r) vale tfrac14000>0 (crescendo em x).
partial fpartial y(x,y)=-3,ln(2x)y^4, em l(tfrac12,20r) vale 0 (crescimento estacionado em y).

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