Use uma forma apropriada da Regra da Cadeia para determinar fracpartial zpartial s e fracpartial zpartial t.
w=e^x^2 y, x=raizs t, y=1t.

Passo 1

Temos a função
z = e^x^2 y,
com as variáveis intermediárias
x = raizs,t, y = 1t
Como z depende de s,t apenas via x(s,t) e y(s,t), vamos usar a Regra da Cadeia na forma
partial zpartial s = zx,xs + zy,ys, partial zpartial t = zx,xt + zy,yt
Logo, precisamos calcular zx, zy, xs, xt, ys e yt.

Passo 2

Calcular zx e zy para z = e^x^2 y:
zx = partialpartial xe^x^2 y = e^x^2 ycdot 2x y,
zy = partialpartial ye^x^2 y = e^x^2 ycdot x^2

Passo 3

Calcular as derivadas de x e y:
Como x=(s,t)^1/2,
xs = partialpartial sraizs,t = 12(s,t)^-1/2,t = t2raizs,t,
xt = partialpartial traizs,t = 12(s,t)^-1/2,s = s2raizs,t
Como y=1/t,
ys = 0,
yt = -1t^2

Passo 4

Agora partial zpartial s = zx,xs + zy,ys:
partial zpartial s = l(e^x^2 ycdot 2x yr)t2raizs,t + l(e^x^2 ycdot x^2r)cdot 0 = e^x^2 y,x ytraizs,t
Como raizs,t=x e y=1/t, segue
partial zpartial s = e^x^2 y,t,yx = e^x^2 y e como x^2 y = s,tt=s, partial zpartial s=e^s

Passo 5

E partial zpartial t = zx,xt + zy,yt:
partial zpartial t = l(e^x^2 ycdot 2x yr)s2raizs,t + l(e^x^2 ycdot x^2r)l(-1t^2r) = e^x^2 y,x ysraizs,t - e^x^2 y,x^2t^2
Usando raizs,t=x, y=1/t e x^2=s,t, obtemos
partial zpartial t = e^x^2 y,st - e^x^2 y,s,tt^2 = e^x^2 y,st - e^x^2 y,st = 0

Resposta

partial zpartial s = e^s
partial zpartial t = 0

Exercícios relacionados