Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem, e aplique elas no ponto indicado. Diga se na direção desta derivada neste ponto, a função está crescendo (derivada ), decrescendo ( ) ou se está com crescimento estacionado ( ).
.)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=e^xy
e a avaliação delas no ponto (2,3). O conteúdo é cálculo de derivadas parciais para funções de duas variáveis e interpretação do sinal dessas derivadas (crescimento, decrescimento ou estacionário) na direção de x ou y.

Passo 2

Para achar partial fpartial x, tratamos y como constante. Se u=tfracxy, então f=e^u e
partial fpartial x =e^ucdotpartial upartial x =e^xycdot1y

Passo 3

Avaliando em (2,3):
partial fpartial x(2,3) =13,e^23
Como tfrac13e^2/3>0, a função está crescendo na direção x naquele ponto.

Passo 4

Para achar partial fpartial y, usamos u=tfracxy e
partial upartial y =-xy^2,
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partial fpartial y =e^xycdotl(-xy^2r) =-xy^2,e^xy

Passo 5

Avaliando em (2,3):
partial fpartial y(2,3) =-23^2,e^23 =-29,e^23
Como -tfrac29e^2/3<0, a função está decrescendo na direção y naquele ponto.

Resposta

partial fpartial x(x,y) =1y,e^xy, partial fpartial y(x,y) =-xy^2,e^xy,
partial fpartial x(2,3)=13e^2/3>0(cresce em x), partial fpartial y(2,3)=-29e^2/3<0(decresce em y)

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