Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem, e aplique elas no ponto indicado. Diga se na direção desta derivada neste ponto, a função está crescendo (derivada ), decrescendo ( ) ou se está com crescimento estacionado ( ). , no ponto .
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
e, em seguida, que apliquemos essas derivadas no ponto . Depois, devemos dizer se, nessas direções, a função está crescendo, decrescendo ou estacionada. Para isso, vamos usar as regras de derivação de produto, cadeia e potência.
Passo 2
Calcular .
Temos fixando como constante. Pela regra da cadeia,
Passo 3
Calcular .
Agora é constante e aplicamos regra da potência:
Determinar o sinal de cos(pi^3/2) e sin(pi^3/2).
Observando que
pi^3/2=piraizpiapprox5,568(radianos),
e como 2piapprox6,283, segue pi^3/2=2pi -0,715, então cos(pi^3/2)=cos(2pi-0,715)>0 e sin(pi^3/2)=sin(2pi-0,715)<0.
Logo, partial fpartial x(raizpi,3)=729picos(pi^3/2)>0
e partial fpartial y(raizpi,3)=405sin(pi^3/2)<0.
Resposta
partial fpartial x(raizpi,3)=729picosl(pi^3/2r)>0,
portanto em direção a x a função está crescendo. partial fpartial y(raizpi,3)=405sinl(pi^3/2r)<0,
portanto em direção a y a função está decrescendo.