Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem, e aplique elas no ponto indicado. Diga se na direção desta derivada neste ponto, a função está crescendo (derivada >0 ), decrescendo ( <0 ) ou se está com crescimento estacionado ( =0 ).
f(x, y)=y^5 sen x^3, no ponto (raizpi, 3).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=y^5sin(x^3)
e, em seguida, que apliquemos essas derivadas no ponto l(raizpi,3r). Depois, devemos dizer se, nessas direções, a função está crescendo, decrescendo ou estacionada. Para isso, vamos usar as regras de derivação de produto, cadeia e potência.

Passo 2

Calcular partial fpartial x.
Temos f(x,y)=y^5sin(x^3) fixando y como constante. Pela regra da cadeia,
partial fpartial x = y^5cdotcosl(x^3r)cdotddxl(x^3r) = y^5cosl(x^3r)cdot 3x^2

Passo 3

Calcular partial fpartial y.
Agora x é constante e aplicamos regra da potência:
partial fpartial y = 5y^4,sinl(x^3r)

Passo 4

Avaliar partial fpartial x em l(raizpi,3r).
Substituindo y=3 e x=raizpi:
partial fpartial xg|(raizpi,3) =3cdot(raizpi)^2cdot 3^5,cos!l((raizpi)^3r) =3picdot 243,cos!l(pi^3/2r) =729picos!l(pi^3/2r)

Passo 5

Avaliar partial fpartial y em l(raizpi,3r).
partial fpartial yg|(raizpi,3) =5cdot 3^4,sin!l((raizpi)^3r) =5cdot 81,sin!l(pi^3/2r) =405sin!l(pi^3/2r)

Passo 6

Determinar o sinal de cos(pi^3/2) e sin(pi^3/2).
Observando que
pi^3/2=piraizpiapprox5,568(radianos),
e como 2piapprox6,283, segue
pi^3/2=2pi -0,715, então
cos(pi^3/2)=cos(2pi-0,715)>0 e
sin(pi^3/2)=sin(2pi-0,715)<0.
Logo,
partial fpartial x(raizpi,3)=729picos(pi^3/2)>0
e
partial fpartial y(raizpi,3)=405sin(pi^3/2)<0.

Resposta

partial fpartial x(raizpi,3)=729picosl(pi^3/2r)>0,
portanto em direção a x a função está crescendo.
partial fpartial y(raizpi,3)=405sinl(pi^3/2r)<0,
portanto em direção a y a função está decrescendo.

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