Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem, e aplique elas no ponto indicado. Diga se na direção desta derivada neste ponto, a função está crescendo (derivada >0 ), decrescendo ( <0 ) ou se está com crescimento estacionado ( =0 ).
f(x, y)=e^x^2(3 y+log x), no ponto (7,4).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=e^x^2l(3y+log xr)
e a avaliação em (7,4). Para isso vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia: ao derivar e^x^2 vem um fator 2x, e ao derivar log x vem 1/x.

Passo 2

Calculando partial fpartial x, tratamos f como produto de e^x^2 por (3y+log x). Assim
partial fpartial x = underbraceddxe^x^22x,e^x^2,(3y+log x) + e^x^2,underbraceddx(log x)1/x = e^x^2l(2x,(3y+log x)+tfrac1xr)

Passo 3

Calculando partial fpartial y, vemos que só 3y depende de y, logo
partial fpartial y = e^x^2cdot 3 = 3,e^x^2

Passo 4

Agora avaliamos em (x,y)=(7,4). Como e^7^2=e^49:
partial fpartial x(7,4) = e^49l(2cdot7,(3cdot4+log7)+tfrac17r) = e^49l(14(12+log7)+tfrac17r),
partial fpartial y(7,4) = 3,e^49

Passo 5

Note que e^49>0, 14(12+log7)+tfrac17>0 e 3>0. Portanto ambas derivadas parciais são positivas, o que significa que, em (7,4), a função cresce tanto na direção do eixo x quanto na direção do eixo y.

Resposta

partial fpartial x(7,4) = e^49l(168+14log7+tfrac17r)>0 (crescendo na direção x),
partial fpartial y(7,4) = 3,e^49>0 (crescendo na direção y).

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