Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem, e aplique elas no ponto indicado. Diga se na direção desta derivada neste ponto, a função está crescendo (derivada >0 ), decrescendo ( <0 ) ou se está com crescimento estacionado ( =0 ).
f(x, y)=y^6(x+4)^4 cos (-pi y), no ponto (-5,-14).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=y^6(x+4)^4cos(-pi y)
no ponto l(x0,y0r)=l(-5,-tfrac14r), e determinar se em cada direção (eixo x e eixo y) a função está crescendo ( >0), decrescendo ( <0) ou estacionada ( =0). Vamos usar as regras de derivação de potência, produto e cadeia.

Passo 2

Primeiro note que cos(-pi y)=cos(pi y). Então podemos escrever
f(x,y)=y^6cos(pi y),(x+4)^-4
Tratando y como constante, a derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x =y^6cos(pi y);ddxl[(x+4)^-4r] =y^6cos(pi y),l(-4l)(x+4)^-5r) =-4,y^6cos(pi y),(x+4)^-5

Passo 3

Agora avaliamos em l(x0,y0r)=l(-5,-tfrac14r). Nesse ponto x0+4=-1, logo
(x0+4)^-5=(-1)^-5=-1
Substituindo y0=-tfrac14 e cosl(pi(-tfrac14)r)=cos(-tfracpi4)=tfracraiz22, temos
partial fpartial x|(-5,-tfrac14) =-4,(y0)^6cos(pi y0)cdot(-1) =4,(y0)^6cos(pi y0) =4cdot14^6cdotraiz22 =raiz22048>0
Portanto partial f/partial x>0, ou seja, em direção ao eixo x a função está crescendo.

Passo 4

Para a derivada parcial em y, tratamos x como constante e vemos
f(x,y)=(x+4)^-4,h(y), h(y)=y^6cos(pi y)
Pelo produto e cadeia,
h'(y) =6y^5cos(pi y)+y^6l(-sin(pi y)r)cdotpi =6y^5cos(pi y)-pi,y^6sin(pi y)
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partial fpartial y =(x+4)^-4l[6y^5cos(pi y)-pi,y^6sin(pi y)r]

Passo 5

Em l(-5,-tfrac14r) temos (x+4)^-4=(-1)^-4=1 e y0=-tfrac14. Calculando cada termo:
6y0^5cos(pi y0) =6l(-tfrac14r)^5raiz22 =-6raiz22048 =-3raiz21024,
-pi,y0^6sin(pi y0) =-picdot14096cdotl(-tfracraiz22r) =piraiz28192
Somando,
partial fpartial y|(-5,-tfrac14) =-3raiz21024+piraiz28192 =raiz28192l(-24+pir)approx-0,0036<0
Portanto partial f/partial y<0, ou seja, em direção ao eixo y a função está decrescendo.

Resposta

partial fpartial x(-5,-tfrac14)=raiz22048>0 (crescendo em x);
partial fpartial y(-5,-tfrac14)approx-0,0036<0 (decrescendo em y).

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