Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem, e aplique elas no ponto indicado. Diga se na direção desta derivada neste ponto, a função está crescendo (derivada >0 ), decrescendo ( <0 ) ou se está com crescimento estacionado ( =0 ).
f(x, y)=5 cdot 2^4 x-y4 x-y, no ponto (1,-1).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=5cdot2^4x-y4x-y
e a avaliação dessas derivadas no ponto (1,-1). Em seguida devemos dizer, para cada direção coordenada, se a função cresce, decresce ou está estacionada ali. Vamos usar regra da cadeia e derivação de 2^u.

Passo 2

Defina
u=4x - y,
de modo que
f(x,y)=5,2^uu
Chamemos
g(u)=2^uu,
para facilitar a derivada.

Passo 3

Derivando g(u)=2^u,u^-1 em relação a u:
g'(u) =ddul(2^u,u^-1r) =2^uln(2),u^-1+2^u,(-1),u^-2 =2^ul(ln(2)u-1u^2r)

Passo 4

Pela regra da cadeia,
fx(x,y) =5,g'(u),partial upartial x =5cdot2^ul(ln(2)u-1u^2r)cdot4,
fy(x,y) =5,g'(u),partial upartial y =5cdot2^ul(ln(2)u-1u^2r)cdot(-1)

Passo 5

No ponto (1,-1) tem-se u=4cdot1-(-1)=5 e 2^u=32. Além disso
ln(2)u-1u^2 =ln(2)5-125 =5ln(2)-125
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fx(1,-1) =5cdot32cdot5ln(2)-125cdot4 =128ln(2)-1285approx63,1,
fy(1,-1) =5cdot32cdot5ln(2)-125cdot(-1) =6,4-32ln(2)approx-15,8

Passo 6

Como fx(1,-1)approx63,1>0, a função está crescendo na direção x.
Como fy(1,-1)approx-15,8<0, a função está decrescendo na direção y.

Resposta

fx(x,y)=20cdot2^4x-yl(dfracln(2)4x-y-dfrac1(4x-y)^2r),
fy(x,y)=-5cdot2^4x-yl(dfracln(2)4x-y-dfrac1(4x-y)^2r).
Em (1,-1):
fx(1,-1)=128ln(2)-tfrac1285>0(cresce), fy(1,-1)=6,4-32ln(2)<0(decresce)

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