Questão 2. Seja r(t)=(cos t, sen t), t >= 0. Determine o comprimeto de arco de r(t) tal que t in[pi6, pi2].

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada
vec r(t) = (cos t,;sin t), ;t>=0,
e pede o comprimento de arco para tinl[tfracpi6,tfracpi2r].
O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva no plano, usando a fórmula
L = integrala^b l|vec r'(t)r| ,dt

Passo 2

Vamos calcular a derivada de vec r(t).
vec r'(t) = l(-sin t,;cos tr)

Passo 3

Agora o módulo de vec r'(t):
l|vec r'(t)r| = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 = raizsin^2 t + cos^2 t = 1,
pois sin^2 t + cos^2 t = 1.

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
L = integralpi/6^pi/2 1 ,dt = l[tr]pi/6^pi/2 = pi2 - pi6 = pi3

Resposta

pi3

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