Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem, e aplique elas no ponto indicado. Diga se na direção desta derivada neste ponto, a função está crescendo (derivada ), decrescendo ( ) ou se está com crescimento estacionado ( ).
.)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=sin xe^-2x+e^-2y
e suas avaliações no ponto (0,2).
O conteúdo usado será a regra do quociente para derivadas de funções de duas variáveis.

Passo 2

Para partial fpartial x identificamos
u(x,y)=sin x, v(x,y)=e^-2x+e^-2y
Então
partial upartial x=cos x, partial vpartial x=-2e^-2x
Pela regra do quociente,
partial fpartial x =partial upartial x,v - u,partial vpartial xv^2 =cos x,(e^-2x+e^-2y) - sin x,(-2e^-2x)(e^-2x+e^-2y)^2 =cos x,(e^-2x+e^-2y) +2sin x,e^-2x(e^-2x+e^-2y)^2

Passo 3

Avaliando em (0,2):
sin(0)=0, cos(0)=1, e^-2cdot0=1, e^-2cdot2=e^-4.
Logo
partial fpartial x(0,2) =1,(1+e^-4)+2cdot0cdot1(1+e^-4)^2 =1+e^-4(1+e^-4)^2 =11+e^-4

Passo 4

Como 11+e^-4>0, em direção x no ponto (0,2) a função está crescendo.

Passo 5

Para partial fpartial y temos
partial upartial y=0, partial vpartial y=-2e^-2y
Assim
partial fpartial y =0cdot v - sin x,(-2e^-2y)v^2 =2sin x,e^-2y(e^-2x+e^-2y)^2

Passo 6

Avaliando em (0,2): sin(0)=0 implica
partial fpartial y(0,2)=0

Passo 7

Como partial fpartial y(0,2)=0, em direção y no ponto (0,2) o crescimento está estacionado.

Resposta

partial fpartial x(0,2)=11+e^-4>0 (cresce em x),
partial fpartial y(0,2)=0 (crescimento estacionado em y).

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