Exercício 4. Utilize a integral dupla para determinar a área das regiões D dadas abaixo.
D é a região interior a ambas as circunferências r=cos theta e r=sin theta;

Passo 1

O enunciado pede a área da região D que é a interseção dos discos dados em coordenadas polares por
r = costheta e r = sintheta
Para resolver isso vamos usar integral dupla em coordenadas polares, lembrando que o elemento de área é r,dr,dtheta.

Passo 2

Primeiro determinamos em que intervalo de theta as duas curvas estão concorrendo. Como costheta>=0 e sintheta>=0 só há sobreposição em
0<=theta<=pi2
Dentro desse intervalo, para 0<=theta<=pi/4 vale sintheta<=costheta e para pi/4<=theta<=pi/2 vale costheta<=sintheta. Logo em cada subintervalo a fronteira de r é o menor dos dois valores.

Passo 3

Montamos a área como soma de duas integrais polares, em que r varia de 0 até min(costheta,sintheta):
A = integral0^pi/4!integral0^sintheta r,dr,dtheta + integralpi/4^pi/2!integral0^costheta r,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos a integral interna em r:
integral0^sintheta r,dr = 12sin^2theta, integral0^costheta r,dr = 12cos^2theta
Portanto
A = 12integral0^pi/4sin^2theta,dtheta + 12integralpi/4^pi/2cos^2theta,dtheta

Passo 5

Usamos as identidades de ângulo duplo:
sin^2theta=1-cos2theta2, cos^2theta=1+cos2theta2
Assim
A1=12integral0^pi/4sin^2theta,dtheta =14integral0^pi/4(1-cos2theta),dtheta =14l[theta-tfracsin2theta2r]0^pi/4 =pi16-18

Passo 6

De modo análogo,
A2=12integralpi/4^pi/2cos^2theta,dtheta =14integralpi/4^pi/2(1+cos2theta),dtheta =14l[theta+tfracsin2theta2r]pi/4^pi/2 =pi16-18

Passo 7

Somando as duas parcelas:
A = A1 + A2 = l(pi16-18r)+l(pi16-18r) = pi8-14

Resposta

pi8-14

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