Exercício 4. Utilize a integral dupla para determinar a área das regiões
dadas abaixo.
é a região interior a ambas as circunferências
e
;
Passo 1
O enunciado pede a área da região
que é a interseção dos discos dados em coordenadas polares por
Para resolver isso vamos usar integral dupla em coordenadas polares, lembrando que o elemento de área é
.
Passo 2
Primeiro determinamos em que intervalo de
as duas curvas estão concorrendo. Como
e
só há sobreposição em
Dentro desse intervalo, para
vale
e para
vale
. Logo em cada subintervalo a fronteira de
é o menor dos dois valores.
Passo 3
Montamos a área como soma de duas integrais polares, em que
varia de
até
:
Passo 4
Calculamos a integral interna em
:
Portanto
Passo 5
Usamos as identidades de ângulo duplo:
Assim
Passo 6
De modo análogo,
Passo 7
Somando as duas parcelas: