Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem, e aplique elas no ponto indicado. Diga se na direção desta derivada neste ponto, a função está crescendo (derivada >0 ), decrescendo ( <0 ) ou se está com crescimento estacionado ( =0 ).
f(x, y, z, w)=8 xy z w+5 yx z w+2 zx y w-wx y z, no ponto (1,2,-1,-2).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y,z,w)=8xyzw+5yxzw+2zxyw-wxyz
e a avaliação dessas derivadas no ponto (1,2,-1,-2). Depois, precisamos dizer se, em cada direção coordenada, a função está crescendo (derivada >0), decrescendo (derivada <0) ou estacionada (derivada =0).

Passo 2

Calculamos
partial fpartial x = partialpartial xl(8xyzwr) + partialpartial xl(5yxzwr) + partialpartial xl(2zxywr) - partialpartial xl(wxyzr)
Fazendo as derivações, obtemos
partial fpartial x = 8yzw - 5yx^2zw - 2zx^2yw + wx^2yz
No ponto (1,2,-1,-2) isso vale
partial fpartial x(1,2,-1,-2) = 2 - 5 - tfrac12 + 1 = -tfrac52 < 0,
logo em x a função está decrescendo.

Passo 3

Calculamos
partial fpartial y = partialpartial yl(8xyzwr) + partialpartial yl(5yxzwr) + partialpartial yl(2zxywr) - partialpartial yl(wxyzr),
chegando a
partial fpartial y = -8xy^2zw + 5xzw - 2zxy^2w + wxy^2z
Em (1,2,-1,-2) fica
partial fpartial y(1,2,-1,-2) = -1 + tfrac52 - tfrac14 + tfrac12 = tfrac74 > 0,
logo em y a função está crescendo.

Passo 4

Calculamos
partial fpartial z = partialpartial zl(8xyzwr) + partialpartial zl(5yxzwr) + partialpartial zl(2zxywr) - partialpartial zl(wxyzr),
que dá
partial fpartial z = -8xyz^2w - 5yxz^2w + 2xyw + wxyz^2
No ponto dado resulta
partial fpartial z(1,2,-1,-2) = 2 + 5 - tfrac12 - 1 = tfrac92 > 0,
ou seja, em z está crescendo.

Passo 5

Calculamos
partial fpartial w = partialpartial wl(8xyzwr) + partialpartial wl(5yxzwr) + partialpartial wl(2zxywr) - partialpartial wl(wxyzr),
obtendo
partial fpartial w = -8xyzw^2 - 5yxzw^2 - 2zxyw^2 - 1xyz
Avaliando em (1,2,-1,-2) temos
partial fpartial w(1,2,-1,-2) = 1 + 2,5 + 0,25 + 0,5 = tfrac174 > 0,
logo em w também está crescendo.

Resposta

partial fpartial x(1,2,-1,-2)=-tfrac52<0 – decresce
partial fpartial y(1,2,-1,-2)=tfrac74>0 – cresce
partial fpartial z(1,2,-1,-2)=tfrac92>0 – cresce
partial fpartial w(1,2,-1,-2)=tfrac174>0 – cresce

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