Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem, e aplique elas no ponto indicado. Diga se na direção desta derivada neste ponto, a função está crescendo (derivada >0 ), decrescendo ( <0 ) ou se está com crescimento estacionado ( =0 ).
f(x, y, z, w)=(e^x y+e^z w)(10^x w-10^y z), no ponto (0,1,1, ln 10).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y,z,w) = l(e^xy+e^zwr)l(10^xw-10^yzr)
no ponto (0,1,1,ln 10), e que a partir de cada valor indicar se f cresce, decresce ou está estacionada nessa direção. O método envolve:
– usar a regra do produto partial(fg)=f',g+f,g',
– derivar e^u pela regra da cadeia e 10^v como 10^vln(10),
– avaliar tudo em (0,1,1,ln10) e analisar o sinal.

Passo 2

Chamando
A = e^xy+e^zw, B = 10^xw-10^yz,
temos
partial Apartial x = y,e^xy, partial Bpartial x = w,ln(10),10^xw
Logo
partial fpartial x = partial Apartial x,B + A,partial Bpartial x = y,e^xy(10^xw-10^yz) + (e^xy+e^zw),wln(10),10^xw
No ponto dado,
e^xy!=e^0=1,; e^zw!=e^ln10=10,; 10^xw!=10^0=1,; 10^yz!=10^1=10,
logo
A=1+10=11, B=1-10=-9
Substituindo,
partial fpartial x(0,1,1,ln10) =1cdot1cdot(-9)+11cdot(ln10)^2 =-9+11(ln10)^2approx49,3>0
Portanto em x a função cresce.

Passo 3

Para y:
partial Apartial y = x,e^xy, partial Bpartial y = -z,ln(10),10^yz,
partial fpartial y = x,e^xy(10^xw-10^yz) + (e^xy+e^zw)(-zln(10),10^yz)
No ponto x=0 anula o primeiro termo, e com z=1:
partial fpartial y(0,1,1,ln10) =11cdotl(-1cdotln10cdot10r) =-110ln10approx-253,3<0
Logo em y a função decresce.

Passo 4

Para z:
partial Apartial z = w,e^zw, partial Bpartial z = -y,ln(10),10^yz,
partial fpartial z = w,e^zw(10^xw-10^yz) + (e^xy+e^zw)(-yln(10),10^yz)
Avaliando com w=ln10, y=1:
partial fpartial z(0,1,1,ln10) =(ln10)cdot10cdot(-9) +11cdot(-1cdotln10cdot10) =-90ln10-110ln10 =-200ln10approx-460,5<0
Portanto em z decresce.

Passo 5

Para w:
partial Apartial w = z,e^zw, partial Bpartial w = x,ln(10),10^xw,
partial fpartial w = z,e^zw(10^xw-10^yz) + (e^xy+e^zw)(xln(10),10^xw)
No ponto x=0 anula o segundo termo, com z=1:
partial fpartial w(0,1,1,ln10) =1cdot10cdot(-9)=-90<0
Logo em w também decresce.

Resposta

partial fpartial x(0,1,1,ln10)=-9+11(ln10)^2approx49,3>0 (cresce)
partial fpartial y(0,1,1,ln10)=-110ln10approx-253,3<0 (decresce)
partial fpartial z(0,1,1,ln10)=-200ln10approx-460,5<0 (decresce)
partial fpartial w(0,1,1,ln10)=-90<0 (decresce)

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