Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função
dada por
Para isso precisamos achar, para cada constante
, o conjunto
, identificar o tipo de curva e calcular seus semi-eixos.
Passo 2
Igualando
obtemos a equação de nível
Passo 3
Dividindo por
escrevemos em forma padrão de elipse:
Dessa forma vemos que é uma elipse centrada na origem com semi-eixos
Passo 4
Escolhemos alguns níveis típicos para desenhar várias curvas:
1. Para
:
com semi-eixos
e
.
2. Para
:
com semi-eixos
e
.
3. Para
:
com semi-eixos
e
.
Passo 5
No plano
traçamos essas elipses concêntricas, crescendo de tamanho conforme
aumenta. Isso constitui o mapa de contorno de
.
Resposta
As curvas de nível de
são as elipses
para
. Em particular, para
obtemos elipses concêntricas de semi-eixos
e
.