Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
(b) g(x, y)=x^24+y^22

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função
gcolon R^2to R dada por
g(x,y)=x^24+y^22
Para isso precisamos achar, para cada constante c>0, o conjunto
(x,y)mid g(x,y)=c, identificar o tipo de curva e calcular seus semi-eixos.

Passo 2

Igualando g(x,y)=c obtemos a equação de nível
x^24+y^22=c

Passo 3

Dividindo por c escrevemos em forma padrão de elipse:
x^24c+y^22c=1
Dessa forma vemos que é uma elipse centrada na origem com semi-eixos
a=raiz4c=2raizc e b=raiz2c

Passo 4

Escolhemos alguns níveis típicos para desenhar várias curvas:
1. Para c=1:
x^24+y^22=1
com semi-eixos a=2 e b=raiz2.
2. Para c=2:
x^28+y^24=1
com semi-eixos a=2raiz2 e b=2.
3. Para c=3:
x^212+y^26=1
com semi-eixos a=2raiz3 e b=raiz6.

Passo 5

No plano xy traçamos essas elipses concêntricas, crescendo de tamanho conforme c aumenta. Isso constitui o mapa de contorno de g.

Resposta

As curvas de nível de g são as elipses
x^24c+y^22c=1,
para c>0. Em particular, para c=1,2,3,dots obtemos elipses concêntricas de semi-eixos 2raizc e raiz2c.

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