Encontre todas as derivadas parciais de f de segunda ordem no caso abaixo.
f(x, y)=ln (1+x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=ln(1+x²+y²). O conteúdo envolvido é derivação parcial e regra da cadeia, e vamos precisar aplicar a derivada do ln e, depois, a derivada de quociente para achar as segundas derivadas.

Passo 2

Para calcular f_x e f_y, usamos a regra da cadeia: se u=1+x²+y² então (ln
u)’=1/u·u’. Assim,
fx=11+x^2+y^2cdot2x=2x1+x^2+y^2,
fy=11+x^2+y^2cdot2y=2y1+x^2+y^2

Passo 3

Para f_{xx}, derivamos f_x=2x(1+r²)^{-1} em relação a x, usando quociente (ou produto com potência negativa):
fxx=2(1+x^2+y^2)-2xcdot2x(1+x^2+y^2)^2 =2-2x^2+2y^2(1+x^2+y^2)^2 =2(1 - x^2 + y^2)(1+x^2+y^2)^2

Passo 4

Para f_{xy}, derivamos f_x em y:
fxy=2xcdot(-1)(1+x^2+y^2)^-2cdot2y =-4xy(1+x^2+y^2)^2

Passo 5

Para f_{yy}, de modo análogo ao f_{xx}, trocando x por y, obtemos:
fyy=2-2y^2+2x^2(1+x^2+y^2)^2 =2(1 + x^2 - y^2)(1+x^2+y^2)^2

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem são:
fx=2x1+x^2+y^2, fy=2y1+x^2+y^2,
fxx=2(1 - x^2 + y^2)(1+x^2+y^2)^2, fxy=-4xy(1+x^2+y^2)^2, fyy=2(1 + x^2 - y^2)(1+x^2+y^2)^2

Exercícios relacionados