Encontre todas as derivadas parciais de
de segunda ordem no caso abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=ln(1+x²+y²). O conteúdo envolvido é derivação parcial e regra da cadeia, e vamos precisar aplicar a derivada do ln e, depois, a derivada de quociente para achar as segundas derivadas.
Passo 2
Para calcular f_x e f_y, usamos a regra da cadeia: se u=1+x²+y² então (ln
u)’=1/u·u’. Assim,
u)’=1/u·u’. Assim,
Passo 3
Para f_{xx}, derivamos f_x=2x(1+r²)^{-1} em relação a x, usando quociente (ou produto com potência negativa):
Passo 4
Para f_{xy}, derivamos f_x em y:
Passo 5
Para f_{yy}, de modo análogo ao f_{xx}, trocando x por y, obtemos:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem são: