Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos exercícios 31-40.
s(x, y)=tg^-1(yx)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
s(x,y)=tg^-1!gl(yxgr),
ou seja, precisamos calcular sx, sy e depois sxx, syy e sxy. Vamos usar a regra da cadeia (para tg^-1) e a regra do quociente (para y/x).

Passo 2

Primeiro definimos
u(x,y)=yx,
então
s(x,y)=tg^-1!(u)
Aplicando a cadeia,
sx = 11+u^2,ux, sy = 11+u^2,uy
Como u=y,x^-1, temos
ux = -yx^2, uy = 1x
Logo,
sx = 11+(y/x)^2l(-yx^2r) = -yx^2+y^2,
sy = 11+(y/x)^2l(1xr) = xx^2+y^2

Passo 3

Agora sxx=partialpartial xl(-tfracyx^2+y^2r). Aqui y é tratado como constante, então
sxx = -y;ddxl((x^2+y^2)^-1r) = -y;l(-1l)(x^2+y^2)^-2cdot 2x = 2xy(x^2+y^2)^2

Passo 4

Para syy=partialpartial yl(tfracxx^2+y^2r), agora x é constante:
syy = x;ddyl((x^2+y^2)^-1r) = x;l(-1l)(x^2+y^2)^-2cdot 2y = -2xy(x^2+y^2)^2

Passo 5

Finalmente sxy=partialpartial yl(-tfracyx^2+y^2r). Usando a regra do quociente:
sxy = -1cdot(x^2+y^2) - (-y)cdot 2y(x^2+y^2)^2 = -x^2-y^2+2y^2(x^2+y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2
Por simetria das derivadas mistas (sob hipóteses de suavidade), syx=sxy.

Resposta

sx = -dfracyx^2+y^2,
sy = dfracxx^2+y^2,
sxx = dfrac2xy(x^2+y^2)^2,
syy = -dfrac2xy(x^2+y^2)^2,
sxy = syx = dfracy^2 - x^2(x^2+y^2)^2

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