Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos exercícios 31-40.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
ou seja, precisamos calcular
,
e depois
,
e
. Vamos usar a regra da cadeia (para
) e a regra do quociente (para
).
Passo 2
Primeiro definimos
então
Aplicando a cadeia,
Como
, temos
Logo,
Passo 3
Agora
. Aqui
é tratado como constante, então
Passo 4
Para
, agora
é constante:
Passo 5
Finalmente
. Usando a regra do quociente:
Por simetria das derivadas mistas (sob hipóteses de suavidade),
.