Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos exercícios 31-40.
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de
Aqui vamos usar as regras de derivação parcial, em particular produto, cadeia e a derivada
.
Passo 2
Calcular
.
Trata-se de um produto , logo
Trata-se de um produto
Na segunda parcela, por cadeia,
Assim
Passo 3
Calcular
wy=partial wpartial y .
Agorax^2 é constante e
Agora
Passo 4
Calcular
wxx=partialpartial x(wx) .
Partimos de
Partimos de
Derivando termo a termo em
x :
-
partialpartial x[2x,tan(xy)] =2,tan(xy)+2x;sec^2(xy),y -
partialpartial x[x^2y,sec^2(xy)] =2x,y,sec^2(xy) +x^2,y;ddx[sec^2(xy)]
E
Somando tudo:
ou seja
Passo 5
Calcular
wxy=partialpartial y(wx) .
Ainda partindo de
Ainda partindo de
derivamos em
y :
-
partialpartial y[2x,tan(xy)] =2x,sec^2(xy),x = 2x^2,sec^2(xy) -
partialpartial y[x^2y,sec^2(xy)] =x^2,sec^2(xy) +x^2,y;ddy[sec^2(xy)]
E
Logo
ou seja
Passo 6
Por simetria (teorema de Schwarz) vale
wyx=wxy .
Passo 7
Calcular
wyy=partialpartial y(wy) .
De
De
derivamos em
y , com
x^3 constante: