Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos exercícios 31-40.
w=x^2 tg(x y)

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de
w(x,y)=x^2,tan(xy)
Aqui vamos usar as regras de derivação parcial, em particular produto, cadeia e a derivada
ddutan(u)=sec^2(u).

Passo 2

Calcular wx=partial wpartial x.
Trata-se de um produto x^2cdottan(xy), logo
wx =underbrace2x(x^2)';tan(xy) +;x^2;ddxl[tan(xy)r]
Na segunda parcela, por cadeia,
ddxtan(xy) =sec^2(xy),ddx(xy) =sec^2(xy),y
Assim
wx = 2x,tan(xy) ;+; x^2,y,sec^2(xy)

Passo 3

Calcular wy=partial wpartial y.
Agora x^2 é constante e
wy = x^2;ddyl[tan(xy)r] =x^2;sec^2(xy),ddy(xy) =x^2;sec^2(xy),x = x^3,sec^2(xy)

Passo 4

Calcular wxx=partialpartial x(wx).
Partimos de
wx = 2x,tan(xy) + x^2,y,sec^2(xy)
Derivando termo a termo em x:
  1. partialpartial x[2x,tan(xy)] =2,tan(xy)+2x;sec^2(xy),y
  2. partialpartial x[x^2y,sec^2(xy)] =2x,y,sec^2(xy) +x^2,y;ddx[sec^2(xy)]
    E
ddxsec^2(xy) =2,sec^2(xy),tan(xy),ddx(xy) =2,y,sec^2(xy),tan(xy)
Somando tudo:
wxx =2tan(xy) +2x,y,sec^2(xy) +2x,y,sec^2(xy) +2x^2,y^2,sec^2(xy),tan(xy),
ou seja
wxx =2,tan(xy) +4,x,y,sec^2(xy) +2,x^2,y^2,sec^2(xy),tan(xy)

Passo 5

Calcular wxy=partialpartial y(wx).
Ainda partindo de
wx = 2x,tan(xy) + x^2,y,sec^2(xy),
derivamos em y:
  1. partialpartial y[2x,tan(xy)] =2x,sec^2(xy),x = 2x^2,sec^2(xy)
  2. partialpartial y[x^2y,sec^2(xy)] =x^2,sec^2(xy) +x^2,y;ddy[sec^2(xy)]
    E
ddysec^2(xy) =2,sec^2(xy),tan(xy),ddy(xy) =2,x,sec^2(xy),tan(xy)
Logo
wxy =2x^2,sec^2(xy) +x^2,sec^2(xy) +2x^3,y,sec^2(xy),tan(xy),
ou seja
wxy =3,x^2,sec^2(xy) +2,x^3,y,sec^2(xy),tan(xy)

Passo 6

Por simetria (teorema de Schwarz) vale wyx=wxy.

Passo 7

Calcular wyy=partialpartial y(wy).
De
wy = x^3,sec^2(xy),
derivamos em y, com x^3 constante:
wyy =x^3;ddysec^2(xy) =x^3;2,sec^2(xy),tan(xy),ddy(xy) =2,x^4,sec^2(xy),tan(xy)

Resposta

wxx =2,tan(xy) +4,x,y,sec^2(xy) +2,x^2,y^2,sec^2(xy),tan(xy),
wxy=wyx =3,x^2,sec^2(xy) +2,x^3,y,sec^2(xy),tan(xy),
wyy =2,x^4,sec^2(xy),tan(xy)

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