Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos exercícios 31-40.
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de
. O conteúdo é diferenciação parcial de ordem superior, que combina regra do produto e regra da cadeia. Vamos primeiro achar as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar de novo.
Passo 2
Calculando as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 3
Agora
. Como
, aplicamos produto e cadeia:
Passo 4
Em seguida
. Tomando
:
Pelo teorema de Clairaut,
.
Passo 5
Por fim
. Tomando
: