Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos exercícios 31-40.
w=y e^x^2-y

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de w(x,y)=y,e^x^2-y. O conteúdo é diferenciação parcial de ordem superior, que combina regra do produto e regra da cadeia. Vamos primeiro achar as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar de novo.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais de primeira ordem:
wx=partialpartial xl(y,e^x^2-yr) =y;e^x^2-ycdotpartialpartial x(x^2-y) =2x,y,e^x^2-y,
wy=partialpartial yl(y,e^x^2-yr) =e^x^2-y+y,e^x^2-ycdotpartialpartial y(x^2-y) =e^x^2-y-y,e^x^2-y =(1-y),e^x^2-y

Passo 3

Agora wxx=partialpartial x(wx). Como wx=2x,y,e^x^2-y, aplicamos produto e cadeia:
wxx =2y,e^x^2-y+2x,ycdotl(2x,e^x^2-yr) =2y,e^x^2-y+4x^2y,e^x^2-y =2y,(1+2x^2),e^x^2-y

Passo 4

Em seguida wxy=partialpartial y(wx). Tomando wx=2x,y,e^x^2-y:
wxy =2x,e^x^2-y+2x,ycdot(-1),e^x^2-y =2x,(1-y),e^x^2-y
Pelo teorema de Clairaut, wyx=wxy.

Passo 5

Por fim wyy=partialpartial y(wy). Tomando wy=(1-y)e^x^2-y:
wyy =-e^x^2-y+(1-y)cdot(-1),e^x^2-y =-l[1+(1-y)r],e^x^2-y = (y-2),e^x^2-y

Resposta

wxx=2y,(1+2x^2),e^x^2-y,
wxy=wyx=2x,(1-y),e^x^2-y,
wyy=(y-2),e^x^2-y

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