Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50. s(x, y) = tg^(-1)(y / x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para isso, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivação de funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e .
A função é uma função composta, então vamos aplicar a regra da cadeia. Lembre-se de que a derivada de em relação a é .
Para :
Calculando a derivada interna:
Então:
Para :
Calculando a derivada interna:
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem, que são , , e .
Vamos começar com :
Aplicando a regra do quociente:
Agora, :
Aplicando a regra do quociente:
De forma similar, será igual a devido à igualdade das derivadas mistas.
Finalmente, :
Aplicando a regra do quociente:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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