Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para isso, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivação de funções trigonométricas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
.
A função
é uma função composta, então vamos aplicar a regra da cadeia. Lembre-se de que a derivada de
em relação a
é
.
Para
:
Calculando a derivada interna:
Então:
Para
:
Calculando a derivada interna:
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem, que são
,
,
e
.
Vamos começar com
:
Aplicando a regra do quociente:
Agora,
:
Aplicando a regra do quociente:
De forma similar,
será igual a
devido à igualdade das derivadas mistas.
Finalmente,
:
Aplicando a regra do quociente:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: