Exercício 2 Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
c) F(x, y, z) = (x + y) i + (y + z) j + (x + z) k sobre um objeto que se move sobre o segmento de reta ligando a origem ao ponto (1, 2, 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 2, parte c). A questão pede para descobrir o trabalho realizado por um campo de força dado por quando um objeto se move de um ponto até outro ao longo de um segmento de reta. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho pode ser calculado usando a integral de linha:
Onde:
  • F é o campo de força.
  • C é o caminho percorrido.
  • é um elemento infinitesimal do caminho.

Passo 3

Como o movimento é ao longo de um segmento de reta da origem (0, 0, 0) até o ponto (1, 2, 4), podemos parametrizar o caminho. Vamos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1:

Passo 4

Agora, encontramos a derivada de vec(r)(t) em relação a t, que nos dá :

Passo 5

Substituímos vec(r)(t) na expressão do campo de força F:

Passo 6

Calculamos o produto escalar :

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de t = 0 a t = 1 para encontrar o trabalho:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é unidades de trabalho.

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