Exercício 1 Calcule as integrais de linha:
a) integralC 2 x d s, em que C=C1 cup C2, com C1 arco da curva y=x^2 ligando o ponto (0,0) ao ponto (1,1), e C2 o segmento de reta ligando o ponto (1,1) ao ponto (1,2).

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha onde é composto por duas partes: , que é o arco da parábola indo de até , e , que é a reta ligando a . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha, que envolvem parametrizar cada curva e calcular , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral sobre x = t, y = t^2, t in [0, 1] , que é a parábola ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz1 + (2t)^2 , dt = raiz1 + 4t^2 , dt de integralC1 2x , ds = integral0^1 2t cdot raiz1 + 4t^2 , dt a u = 1 + 4t^2 Rightarrow du = 8t , dt Rightarrow t , dt = du8 .
Parametrização de integral 2t cdot raizu cdot du8 = 14 integral raizu , du = 14 cdot 23 u^3/2 + C = 16 u^3/2 + C :
Podemos usar 16 (1 + 4t^2)^3/2 |0^1 = 16 (5^3/2 - 1^3/2) = 16 (5raiz5 - 1) como parâmetro, já que é definido em termos de :
Calculando :
Expressando a integral:
Solução da integral:
Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Então, a integral fica:
Retornando a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral sobre x = 1, y = t, t in [1, 2] , que é a reta vertical de ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz0 + 1 , dt = dt a integralC2 2x , ds = integral1^2 2 cdot 1 cdot dt = 2 integral1^2 dt = 2(2 - 1) = 2 .
Parametrização de :
Aqui, é constante e varia de 1 a 2. Podemos usar:
Calculando :
Como é constante, temos:
Expressando a integral:

Passo 4

Finalmente, somamos as integrais das duas partes integralC 2x , ds = integralC1 2x , ds + integralC2 2x , ds = 16 (5raiz5 - 1) + 2 e :

Resposta

integralC 2x , ds = 16 (5raiz5 - 1) + 2

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