Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
g(x, y)=x^{2} y+\cos y+y \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
g(x,y)=x^{2}y+\cos y+y\sin x.
Informações dadas:
g(x,y)=x^{2}y+\cos y+y\sin x.
O que preciso devolver (explicitamente): as derivadas \dfrac{\partial^{2}g}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2}g}{\partial x\partial y}, \dfrac{\partial^{2}g}{\partial y\partial x} e \dfrac{\partial^{2}g}{\partial y^{2}}.

Passo 2

Conceitos úteis (explicação didática):
  • Derivada parcial em relação a x: para calcular \dfrac{\partial g}{\partial x} tratamos y como constante e diferenciamos g em relação a x como se fosse uma função de uma variável.
  • Derivada parcial em relação a y: para calcular \dfrac{\partial g}{\partial y} tratamos x como constante.
  • Regras de derivação que vamos usar:
    • Derivada de \sin x em relação a x é \cos x.
    • Derivada de \cos y em relação a y é -\sin y.
    • Produto com constante: se y é tratado como constante, \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 y)=y\cdot \dfrac{d}{dx}(x^2)=2xy.
    • Regra do produto quando necessário (aqui aplicada de forma direta porque cada termo tem fator claro).
  • Observação sobre derivadas mistas: se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas num entorno, então \dfrac{\partial^{2}g}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^{2}g}{\partial y\partial x} (teorema de Clairaut). No nosso caso, g é soma de polinômios e funções trigonométricas, então as derivadas são contínuas onde definidas.

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em relação a x:
Considere cada termo de g:
  • Para x^{2}y: como y é constante, \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=y\cdot \dfrac{d}{dx}(x^{2})=y\cdot 2x=2xy.
  • Para \cos y: não depende de x, logo \dfrac{\partial}{\partial x}(\cos y)=0.
  • Para y\sin x: y é constante multiplicando \sin x, então \dfrac{\partial}{\partial x}(y\sin x)=y\cdot \dfrac{d}{dx}(\sin x)=y\cos x.
    Somando:
\frac{\partial g}{\partial x}=2xy+y\cos x.

Passo 4

Calcular a primeira derivada parcial em relação a y:
Considere cada termo de g:
  • Para x^{2}y: como x é constante, \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}\cdot \dfrac{d}{dy}(y)=x^{2}.
  • Para \cos y: \dfrac{\partial}{\partial y}(\cos y)=-\sin y.
  • Para y\sin x: aqui \sin x é constante (em relação a y), então \dfrac{\partial}{\partial y}(y\sin x)=\sin x.
    Somando:
\frac{\partial g}{\partial y}=x^{2}-\sin y+\sin x.

Passo 5

Calcular a segunda derivada parcial \dfrac{\partial^{2}g}{\partial x^{2}}:
Partimos de \dfrac{\partial g}{\partial x}=2xy+y\cos x.
Diferenciando em relação a x (tratando y como constante):
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y (pois 2x deriva para 2, multiplicado por y).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(y\cos x)=y\cdot \dfrac{d}{dx}(\cos x)=y(-\sin x)=-y\sin x.
    Somando:
\frac{\partial^{2}g}{\partial x^{2}}=2y-y\sin x.

Passo 6

Calcular a segunda derivada mista \dfrac{\partial^{2}g}{\partial x\partial y}:
Partimos de \dfrac{\partial g}{\partial x}=2xy+y\cos x.
Diferenciando em relação a y (agora x é tratado como constante):
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y\cos x)=\cos x (porque \cos x é constante e deriva y para 1).
    Somando:
\frac{\partial^{2}g}{\partial x\partial y}=2x+\cos x.

Passo 7

Calcular a segunda derivada mista \dfrac{\partial^{2}g}{\partial y\partial x}:
Partimos de \dfrac{\partial g}{\partial y}=x^{2}-\sin y+\sin x.
Diferenciando em relação a x (tratando y como constante):
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-\sin y)=0 (independe de x).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin x)=\cos x.
    Somando:
\frac{\partial^{2}g}{\partial y\partial x}=2x+\cos x.
Observação: as duas derivadas mistas coincidem, como previsto pelo teorema de Clairaut.

Passo 8

Calcular a segunda derivada \dfrac{\partial^{2}g}{\partial y^{2}}:
Partimos de \dfrac{\partial g}{\partial y}=x^{2}-\sin y+\sin x.
Diferenciando em relação a y:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-\sin y)=-\cos y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin x)=0.
    Somando:
\frac{\partial^{2}g}{\partial y^{2}}=-\cos y.

Resposta

\dfrac{\partial^{2}g}{\partial x^{2}}=2y-y\sin x
\dfrac{\partial^{2}g}{\partial x\partial y}=2x+\cos x
\dfrac{\partial^{2}g}{\partial y\partial x}=2x+\cos x
\dfrac{\partial^{2}g}{\partial y^{2}}=-\cos y

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