Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
g(x, y)=x^{2} y+\cos y+y \operatorname{sen} x
g(x, y)=x^{2} y+\cos y+y \operatorname{sen} x
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
Informações dadas:
O que preciso devolver (explicitamente): as derivadas
,
,
e
.
Passo 2
Conceitos úteis (explicação didática):
- Derivada parcial em relação a
: para calcular tratamos como constante e diferenciamos em relação a como se fosse uma função de uma variável. - Derivada parcial em relação a
: para calcular tratamos como constante. - Regras de derivação que vamos usar:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Produto com constante: se
é tratado como constante, . - Regra do produto quando necessário (aqui aplicada de forma direta porque cada termo tem fator claro).
- Derivada de
- Observação sobre derivadas mistas: se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas num entorno, então
(teorema de Clairaut). No nosso caso, é soma de polinômios e funções trigonométricas, então as derivadas são contínuas onde definidas.
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
:
Considere cada termo de :
Considere cada termo de
- Para
: como é constante, . - Para
: não depende de , logo . - Para
: é constante multiplicando , então .
Somando:
Passo 4
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
:
Considere cada termo de :
Considere cada termo de
- Para
: como é constante, . - Para
: . - Para
: aqui é constante (em relação a ), então .
Somando:
Passo 5
Calcular a segunda derivada parcial
:
Partimos de .
Diferenciando em relação a (tratando
como constante):
Partimos de
Diferenciando em relação a
-
(pois deriva para , multiplicado por ). -
.
Somando:
Passo 6
Calcular a segunda derivada mista
:
Partimos de .
Diferenciando em relação a (agora
é tratado como constante):
Partimos de
Diferenciando em relação a
-
. -
(porque é constante e deriva para ).
Somando:
Passo 7
Calcular a segunda derivada mista
:
Partimos de .
Diferenciando em relação a (tratando
como constante):
Partimos de
Diferenciando em relação a
-
. -
(independe de ). -
.
Somando:
Observação: as duas derivadas mistas coincidem, como previsto pelo teorema de Clairaut.
Passo 8
Calcular a segunda derivada
:
Partimos de .
Diferenciando em relação a :
Partimos de
Diferenciando em relação a
-
. -
. -
.
Somando: