Encontre
.
f(x, y)=(2 x-3 y)^{3}
f(x, y)=(2 x-3 y)^{3}
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais
,
e
. Informações relevantes: a função está expressa em termos de
e
(não aparece
); portanto
depende explicitamente apenas de
e
.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): a derivada parcial de
em relação a uma variável, por exemplo
, é a taxa de variação de
quando só mudamos
e mantemos as outras variáveis constantes. Quando temos uma função composta do tipo
, usamos a regra da cadeia para derivadas parciais:
Aqui
é a derivada de
em relação à sua variável interna
, e
é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Identificamos a composição: seja
e
. Então
.
Calculamos : como
, então
Calculamos
Agora calculamos as derivadas parciais de
:
pois
não depende de
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo
obtemos
Explicando a conta passo a passo: primeiro elevamos
ao quadrado, depois multiplicamos por
(derivada de
), e por fim multiplicamos pelo coeficiente
.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo
obtemos
Novamente: elevamos
ao quadrado, multiplicamos por
e por
.
Passo 6
Para
: como
não depende de
(o enunciado não contém
em
), tratando
e
como constantes ao variar
, obtemos
Justificação simples: a variação de
quando só mexemos em
é nula porque não há termo em
em
.
Passo 7
Verificação (opcional, para ganhar confiança): expandindo
pelo binômio temos
Derivando parcialmente em
e em
dessa forma dá o mesmo resultado:
Isso confirma as expressões obtidas pela regra da cadeia.