Encontre \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z}.
f(x, y)=(2 x-3 y)^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=(2x-3y)^{3} e pede as derivadas parciais \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}. Informações relevantes: a função está expressa em termos de x e y (não aparece z); portanto f depende explicitamente apenas de x e y.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): a derivada parcial de f em relação a uma variável, por exemplo x, é a taxa de variação de f quando só mudamos x e mantemos as outras variáveis constantes. Quando temos uma função composta do tipo f(x,y)=g(u(x,y)), usamos a regra da cadeia para derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=g'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui g'(u) é a derivada de g em relação à sua variável interna u, e \frac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial de u em relação a x.

Passo 3

Identificamos a composição: seja \displaystyle u(x,y)=2x-3y e g(u)=u^{3}. Então f(x,y)=g(u(x,y)).
Calculamos g'(u): como g(u)=u^{3}, então
g'(u)=3u^{2}.
Agora calculamos as derivadas parciais de u:
\frac{\partial u}{\partial x}=2,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-3,\qquad \frac{\partial u}{\partial z}=0,
pois u não depende de z.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}=g'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=3u^{2}\cdot 2.
Substituindo u=2x-3y obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=3(2x-3y)^{2}\cdot 2=6(2x-3y)^{2}.
Explicando a conta passo a passo: primeiro elevamos u ao quadrado, depois multiplicamos por 3 (derivada de u^{3}), e por fim multiplicamos pelo coeficiente \frac{\partial u}{\partial x}=2.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}=g'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=3u^{2}\cdot(-3).
Substituindo u=2x-3y obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}=3(2x-3y)^{2}\cdot(-3)=-9(2x-3y)^{2}.
Novamente: elevamos u ao quadrado, multiplicamos por 3 e por \frac{\partial u}{\partial y}=-3.

Passo 6

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}: como f não depende de z (o enunciado não contém z em f), tratando x e y como constantes ao variar z, obtemos
\frac{\partial f}{\partial z}=0.
Justificação simples: a variação de f quando só mexemos em z é nula porque não há termo em z em f.

Passo 7

Verificação (opcional, para ganhar confiança): expandindo (2x-3y)^{3} pelo binômio temos
(2x-3y)^{3}=8x^{3}-36x^{2}y+54xy^{2}-27y^{3}.
Derivando parcialmente em x e em y dessa forma dá o mesmo resultado:
\frac{\partial f}{\partial x}=24x^{2}-72xy+54y^{2}=6(2x-3y)^{2},
\frac{\partial f}{\partial y}=-36x^{2}+108xy-81y^{2}=-9(2x-3y)^{2}.
Isso confirma as expressões obtidas pela regra da cadeia.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=6(2x-3y)^{2}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-9(2x-3y)^{2}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=0

Exercícios relacionados