Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
h(x, y)=x e^{y}+y+1
h(x, y)=x e^{y}+y+1
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Informações dadas:
O que precisamos devolver: as derivadas parciais de segunda ordem
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial (rápida revisão): a derivada parcial de
em relação a
no ponto
mede a taxa de variação de
quando só
varia e
é mantido fixo. Formalmente,
Analogamente para
. Para calcular na prática tratamos a variável que NÃO é diferenciada como constante.
Derivadas de segunda ordem: são derivadas parciais das derivadas parciais, por exemplo
e assim por diante. Quando as segundas derivadas são contínuas, vale
(teorema de Clairaut).
Passo 3
Calcular a derivada parcial primeira em relação a
, isto é
.
Tratando
como constante, a expressão
é um produto onde
é constante; a derivada de
é
. As parcelas
e
são constantes em relação a
, então derivam para
.
Portanto,
Passo 4
Calcular a derivada parcial primeira em relação a
, isto é
.
Agora tratamos
como constante. A derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
, que é
. A derivada de
em relação a
é
. A constante
deriva para
.
Logo,
Passo 5
Definir e calcular
: derivamos
em relação a
.
Temos
. Como
depende só de
, ao derivar em relação a
(com
fixo) obtemos zero:
Passo 6
Calcular
: derivamos
em relação a
.
Partimos de
. A derivada de
em relação a
é
. Assim,
Passo 7
Calcular
: derivamos
em relação a
.
Partimos de
. Derivando em relação a
com
fixo, a derivada de
é
(pois
é constante) e de
é
. Logo,
Observação: vemos que
, compatível com o teorema de Clairaut (as segundas derivadas são contínuas aqui).
Passo 8
Calcular
: derivamos
em relação a
.
Partimos de
. A derivada de
em relação a
é
(pois
é constante) e a derivada de
é
. Assim,