Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
h(x, y)=x e^{y}+y+1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função h(x,y)=x e^{y}+y+1.
Informações dadas:
h(x,y)=x e^{y}+y+1.
O que precisamos devolver: as derivadas parciais de segunda ordem \;h_{xx},\;h_{xy},\;h_{yx},\;h_{yy}.

Passo 2

O que é uma derivada parcial (rápida revisão): a derivada parcial de h em relação a x no ponto (x,y) mede a taxa de variação de h quando só x varia e y é mantido fixo. Formalmente,
\frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=\lim_{t\to 0}\frac{h(x+t,y)-h(x,y)}{t}.
Analogamente para \partial h/\partial y. Para calcular na prática tratamos a variável que NÃO é diferenciada como constante.
Derivadas de segunda ordem: são derivadas parciais das derivadas parciais, por exemplo
h_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right),\quad h_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right),
e assim por diante. Quando as segundas derivadas são contínuas, vale h_{xy}=h_{yx} (teorema de Clairaut).

Passo 3

Calcular a derivada parcial primeira em relação a x, isto é \;h_x.
Tratando y como constante, a expressão x e^{y} é um produto onde e^{y} é constante; a derivada de x é 1. As parcelas y e 1 são constantes em relação a x, então derivam para 0.
Portanto,
h_x=e^{y}.

Passo 4

Calcular a derivada parcial primeira em relação a y, isto é \;h_y.
Agora tratamos x como constante. A derivada de x e^{y} em relação a y é x vezes a derivada de e^{y}, que é e^{y}. A derivada de y em relação a y é 1. A constante 1 deriva para 0.
Logo,
h_y = x e^{y} + 1.

Passo 5

Definir e calcular \;h_{xx}: derivamos \;h_x em relação a x.
Temos \;h_x=e^{y}. Como e^{y} depende só de y, ao derivar em relação a x (com y fixo) obtemos zero:
h_{xx}=0.

Passo 6

Calcular \;h_{xy}: derivamos \;h_x em relação a y.
Partimos de \;h_x=e^{y}. A derivada de e^{y} em relação a y é e^{y}. Assim,
h_{xy}=e^{y}.

Passo 7

Calcular \;h_{yx}: derivamos \;h_y em relação a x.
Partimos de \;h_y=x e^{y}+1. Derivando em relação a x com y fixo, a derivada de x e^{y} é e^{y} (pois e^{y} é constante) e de 1 é 0. Logo,
h_{yx}=e^{y}.
Observação: vemos que \;h_{xy}=h_{yx}=e^{y}, compatível com o teorema de Clairaut (as segundas derivadas são contínuas aqui).

Passo 8

Calcular \;h_{yy}: derivamos \;h_y em relação a y.
Partimos de \;h_y=x e^{y}+1. A derivada de x e^{y} em relação a y é x e^{y} (pois x é constante) e a derivada de 1 é 0. Assim,
h_{yy}=x e^{y}.

Resposta

h_{xx}=0
h_{xy}=e^{y}
h_{yx}=e^{y}
h_{yy}=x e^{y}

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