Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDO’s.
a) y y^{\prime}=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de separação de variáveis na EDO
y\,y' = x^2.
O conteúdo envolve EDOs de primeira ordem separáveis. Precisamos reescrever y' como \tfrac{dy}{dx}, separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrevendo y'=\tfrac{dy}{dx}, obtemos
y\,\frac{dy}{dx} = x^2.
Agora agrupamos y de um lado e x do outro:
y\,dy = x^2\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int x^2\,dx.
Calculando as primitivas, fica
\frac{y^2}{2} = \frac{x^3}{3} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicamos por 2 e isolamos y:
y^2 = \frac{2\,x^3}{3} + 2C.
Como 2C também é uma constante arbitrária, renomeamos 2C para C e obtemos
y^2 = \frac{2}{3}x^3 + C \quad\Longrightarrow\quad y = \pm\sqrt{\frac{2}{3}x^3 + C}.

Resposta

A solução geral da EDO y\,y' = x^2 é
y^2 = \frac{2}{3}x^3 + C
ou, equivalentemente,
y = \pm \sqrt{\frac{2}{3}x^3 + C},
onde C é constante arbitrária.

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