Encontre todas as matrizes A quadradas de ordem 2 que comutam com todas as outras matrizes quadradas de ordem 2 . Dica: Tome A=[lla & b c & d] e veja o que a, b, c e d tevem obedecer para valha A cdot E=E cdot A, testando E=[ll1 & 0 0 & 0], E=[ll0 & 1 0 & 0], E=[ll0 & 0 1 & 0], etc.

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes Ain M2(K) tais que
A,X = X,A para todo Xin M2(K)
A estratégia é escrever
A = a & b c & d
e impor A E = E A para as quatro matrizes-canônicas
,E11,E12,E21,E22. Isso nos dará condições sobre a,b,c,d.

Passo 2

Use . Calculamos
Igualando vemos que

Passo 3

Com b=c=0, temos A=a&00&d. Agora use
E12 = 0&10&0
Calculamos
A,E12 = a&00&d 0&10&0 = 0&a0&0,
E12,A = 0&10&0 a&00&d = 0&d0&0
Para A E12=E12A é necessário a=d.

Passo 4

Não é preciso testar E21 ou E22 pois já temos b=c=0 e a=d. Logo
A = a&00&a = a,I2

Resposta

As únicas matrizes de ordem 2 que comutam com todas as outras são as matrizes escalares
A = lambda,I2,
com lambdainK.

Exercícios relacionados