Para cada conjunto do R^3 abaixo, determine se ele é um subespaço do R^3. Justifique.
B=(x, y, z): x y z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto B = (x, y, z) in R^3 mid x cdot y cdot z = 0 é um subespaço de R^3. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente estuda os subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço e verificar se o conjunto B cumpre esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de R^3 precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0, 0) deve estar no conjunto.
  2. Fechamento na adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somar eles, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechamento na multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto B.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero é (0, 0, 0). Substituindo na condição de B:
0 cdot 0 cdot 0 = 0, que satisfaz x cdot y cdot z = 0. Então, o vetor zero está em B.

Passo 4

2. Fechamento na adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de B. Por exemplo, seja u = (1, 0, 2) e v = (0, 3, 4). Ambos estão em B porque em cada um, pelo menos um componente é zero.
Somando u + v = (1+0, 0+3, 2+4) = (1, 3, 6).
Agora, verificamos se (1, 3, 6) está em B:
1 cdot 3 cdot 6 = 18 neq 0.
Como o resultado não satisfaz x cdot y cdot z = 0, a soma não está em B. Portanto, B não é fechado na adição.

Passo 5

3. Fechamento na multiplicação por escalar:
Apesar de já termos visto que B não atende a uma das condições, vamos verificar a multiplicação por um escalar para completar.
Tomemos um vetor em B, por exemplo, w = (0, 2, 3). Multiplicando por um escalar, digamos c = 2:
2 cdot (0, 2, 3) = (0, 4, 6).
Verificando a condição:
0 cdot 4 cdot 6 = 0, que satisfaz x cdot y cdot z = 0.
Nesse caso, a multiplicação por escalar preserva a condição, mas isso não compensa a falha na adição.

Resposta

Não, o conjunto B = (x, y, z) in R^3 mid x cdot y cdot z = 0 não é um subespaço de R^3 porque não é fechado na adição de vetores.

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