Para cada conjunto do
abaixo, determine se ele é um subespaço do
. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto
é um subespaço de
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente estuda os subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço e verificar se o conjunto
cumpre esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechamento na adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somar eles, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechamento na multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero é
. Substituindo na condição de
:
Passo 4
2. Fechamento na adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de
. Por exemplo, seja
e
. Ambos estão em
porque em cada um, pelo menos um componente é zero.
Somando
.
Agora, verificamos se
está em
:
.
Como o resultado não satisfaz
, a soma não está em
. Portanto,
não é fechado na adição.
Passo 5
3. Fechamento na multiplicação por escalar:
Apesar de já termos visto que
não atende a uma das condições, vamos verificar a multiplicação por um escalar para completar.
Tomemos um vetor em
, por exemplo,
. Multiplicando por um escalar, digamos
:
Verificando a condição:
, que satisfaz
.
Nesse caso, a multiplicação por escalar preserva a condição, mas isso não compensa a falha na adição.
Resposta
Não, o conjunto
não é um subespaço de
porque não é fechado na adição de vetores.