Monte exemplos (escolhendo duas matrizes em M2(R), por exemplo) que mostram que as fórmulas abaixo listadas não funcionam para matrizes:
(A B)^-1=A^-1 B^-1, mesmo no caso de A e B e A B serem invertíveis.

Passo 1

O enunciado quer que mostremos, por meio de contraexemplos em M2(R), que a fórmula
(AB)^-1 = A^-1B^-1
é falsa em geral, mesmo quando A, B e AB são invertíveis.
O conteúdo envolvido é a inversa de produto de matrizes, cuja forma correta é
(AB)^-1 = B^-1A^-1,
e falha a igualdade se trocarmos a ordem dos fatores.

Passo 2

Escolhemos
A = 1 & 1 [6pt] 0 & 1, B = 1 & 0 [4pt] 1 & 1
1. Calculamos o produto:
AB = 1cdot1 + 1cdot1 & 1cdot0 + 1cdot1 [4pt] 0cdot1 + 1cdot1 & 0cdot0 + 1cdot1 = 2 & 1 [4pt] 1 & 1
2. O determinante de AB é det(AB)=2cdot1 - 1cdot1 = 1, logo
(AB)^-1 = 1 & -1 [4pt] -1 & 2
3. Já
A^-1 = 1 & -1 [4pt] 0 & 1, B^-1 = 1 & 0 [4pt] -1 & 1,
então
A^-1B^-1 = 1 & -1 [4pt] 0 & 1 1 & 0 [4pt] -1 & 1 = 2 & -1 [4pt] -1 & 1
Comparando,
(AB)^-1 = 1 & -1 [4pt] -1 & 2 neq 2 & -1 [4pt] -1 & 1 = A^-1B^-1 ]

Passo 3

Como segundo exemplo, tomamos
A = 1 & 2 [4pt] 3 & 4, B = 0 & 1 [4pt] 1 & 0
1. O produto é
AB = 1cdot0 + 2cdot1 & 1cdot1 + 2cdot0 [4pt] 3cdot0 + 4cdot1 & 3cdot1 + 4cdot0 = 2 & 1 [4pt] 4 & 3,
com det(AB)=2cdot3 - 1cdot4 =2, logo
(AB)^-1 = 123 & -1 [4pt] -4 & 2 = 3/2 & -1/2 [4pt] -2 & 1
2. Calculamos
A^-1 = 1-24 & -2 [4pt] -3 & 1 = -2 & 1 [4pt] 3/2 & -1/2, B^-1 = 0 & 1 [4pt] 1 & 0
Então
A^-1B^-1 = -2 & 1 [4pt] 3/2 & -1/2 0 & 1 [4pt] 1 & 0 = 1 & -2 [4pt] -1/2 & 3/2,
que claramente difere de (AB)^-1.
]

Resposta

Dois contraexemplos em M2(R) que mostram
(AB)^-1 neq A^-1B^-1
são:
1.
A = 1 & 1 [4pt] 0 & 1,; B = 1 & 0 [4pt] 1 & 1,
onde
(AB)^-1 = 1 & -1 [4pt] -1 & 2 neq 2 & -1 [4pt] -1 & 1 = A^-1B^-1
2.
A = 1 & 2 [4pt] 3 & 4,; B = 0 & 1 [4pt] 1 & 0,
onde
(AB)^-1 = 3/2 & -1/2 [4pt] -2 & 1 neq 1 & -2 [4pt] -1/2 & 3/2 = A^-1B^-1 ]

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