Para cada conjunto do R^3 abaixo, determine se ele é um subespaço do R^3. Justifique.
A=(x, y, z): x+y+z=1

Passo 1

O conjunto
A = (x,y,z)inR^3 mid x+y+z=1
é uma reta ou, mais precisamente, um plano afim em R^3. Para verificar se A é subespaço de R^3 usamos o teste padrão de subespaço:
  1. O vetor zero deve pertencer a A.
  2. A deve ser fechado sob soma de vetores.
  3. A deve ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos a condição do vetor zero. O vetor zero em R^3 é
(0,0,0)
Para estar em A, teríamos que satisfazer
0 + 0 + 0 = 1,
mas isso dá 0 = 1, o que é falso. Logo
(0,0,0)notin A

Passo 3

Como o vetor zero não pertence a A, já falha a primeira condição necessária para subespaço. Não há necessidade de checar as outras duas.

Resposta

A não é subespaço de R^3, pois não contém o vetor zero.

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