Encontre todas os números complexos z tais que:
z^4=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os números complexos z tais que z^4 = 1. Vamos usar o conceito de raízes n-ésimas da unidade em forma polar e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

O número 1 pode ser escrito em forma polar como módulo r = 1 e argumento theta = 2pi k, onde k é inteiro. Assim, 1 = e^i(2pi k).

Passo 3

Para extrair a quarta raiz, aplicamos a fórmula geral das raízes n-ésimas da unidade:
zk = e^itheta + 2pi m4
Aqui theta = 2pi k e, como queremos quatro raízes distintas, escolhemos m = 0,1,2,3. Como r = 1, fica
zm = e^i2pi m4, m = 0,1,2,3

Passo 4

Calculamos para cada m:
m=0: e^i0 = 1
m=1: e^ipi2 = i
m=2: e^ipi = -1
m=3: e^i3pi2 = -i
Portanto, são essas as quatro raízes da equação.

Resposta

As soluções são 1, i, -1 e -i.

Exercícios relacionados