Encontre todas os números complexos z tais que:
z^4=-1
Em cada um dos exemplos acima represente todos as soluções no plano complexo.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os números complexos z tais que z^4 = -1. O assunto é raízes de números complexos e vamos usar a forma polar (ou exponencial) de um número complexo e a fórmula geral para as raízes n-ésimas.

Passo 2

Precisamos primeiro escrever -1 em forma polar. Como -1 fica no eixo real negativo, seu módulo é 1 e seu argumento principal é pi. De modo geral podemos escrever
-1 = e^i(pi + 2pi n), n in Z

Passo 3

Para extrair a raiz quarta, usamos a fórmula das raízes n-ésimas: se w = r e^itheta, então as raízes são
zk = r^1/4 , e^i(theta + 2pi k)/4, k = 0,1,2,3

Passo 4

Aqui r=1 e theta = pi. Logo
zk = e^i(pi + 2pi k)/4, k = 0,1,2,3

Passo 5

Agora basta calcular para cada k:
z0 &= e^ipi/4, z1 &= e^i3pi/4, z2 &= e^i5pi/4, z3 &= e^i7pi/4

Passo 6

Para visualizar no plano complexo, cada zk está no círculo unitário nos ângulos pi/4,3pi/4,5pi/4,7pi/4, formando os vértices de um quadrado rotacionado 45°.

Resposta

As quatro soluções são
z = e^ipi/4,; e^i3pi/4,; e^i5pi/4,; e^i7pi/4
ou, em forma retangular,
raiz22 + iraiz22,; -raiz22 + iraiz22,; -raiz22 - iraiz22,; raiz22 - iraiz22

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