Encontre todas os números complexos
tais que:
Em cada um dos exemplos acima represente todos as soluções no plano complexo.
Em cada um dos exemplos acima represente todos as soluções no plano complexo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os números complexos
tais que
. O assunto é raízes de números complexos e vamos usar a forma polar (ou exponencial) de um número complexo e a fórmula geral para as raízes
-ésimas.
Passo 2
Precisamos primeiro escrever
em forma polar. Como
fica no eixo real negativo, seu módulo é
e seu argumento principal é
. De modo geral podemos escrever
Passo 3
Para extrair a raiz quarta, usamos a fórmula das raízes
-ésimas: se
, então as raízes são
Passo 4
Aqui
e
. Logo
Passo 5
Agora basta calcular para cada
:
Passo 6
Para visualizar no plano complexo, cada
está no círculo unitário nos ângulos
, formando os vértices de um quadrado rotacionado 45°.
Resposta
As quatro soluções são
ou, em forma retangular,