Encontre todas as raízes complexas das equações abaixo.
(d) s^4+4=0

Passo 1

Nós temos a equação s^4 + 4 = 0, que é um polinômio de quarto grau em s e queremos todas as raízes complexas — vamos usar formas trigonométricas e a fórmula de de Moivre.

Passo 2

Reescrevendo a equação isolando s^4:
s^4 = -4
Agora expressamos -4 em forma polar. Como -4 = 4e^ipi (podemos adicionar 2pi k depois):

Passo 3

Pela fórmula de de Moivre para raízes de ordem 4, as soluções são
sk = 4^1/4 ,e^i(pi + 2pi k)/4 = raiz2,e^i(pi4 + kpi2),
com k = 0,1,2,3.

Passo 4

Agora basta calcular para cada k:
  • Para k=0: s0 = raiz2e^ipi/4 = 1 + i.
  • Para k=1: s1 = raiz2e^i3pi/4 = -1 + i.
  • Para k=2: s2 = raiz2e^i5pi/4 = -1 - i.
  • Para k=3: s3 = raiz2e^i7pi/4 = 1 - i.

Resposta

As raízes são 1 + i, -1 + i, -1 - i e 1 - i.

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