Encontre todas as raízes complexas das equações abaixo.
© s^4-1=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes complexas da equação s^4 - 1 = 0. O conteúdo que vamos usar inclui o Teorema Fundamental da Álgebra (um polinômio de grau 4 tem 4 raízes no campo complexo), fatoração de polinômios e a ideia de números complexos na forma retangular/exponencial.

Passo 2

Para fatorar s^4 - 1 usamos a diferença de quadrados duas vezes. Primeiro note que
s^4 - 1 = (s^2)^2 - 1^2 = (s^2 - 1)(s^2 + 1)

Passo 3

Agora resolvemos cada fator igualando a zero. Para s^2 - 1 = 0 temos
s^2 = 1 ,implies, s = pm 1

Passo 4

Para s^2 + 1 = 0 temos
s^2 = -1 ,implies, s = pm j

Passo 5

Como alternativa, podemos ver essas raízes como as 4 raízes quartas de unidade:
sk = e^j2pi k4, k = 0,1,2,3, o que gera exatamente os ângulos 0, tfracpi2, pi, tfrac3pi2 no círculo unitário, correspondendo a 1, j, -1, -j.

Resposta

As raízes complexas são 1, -1, j e -j.

Exercícios relacionados