Determine a região de integração
e troque a ordem de integração das seguintes integrais.
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.
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Passo 1
O exercício pede para a gente encontrar a região D no plano xy que corresponde às integrais dadas e depois trocar a ordem de integração. O conteúdo é integração dupla com limites móveis.
Passo 2
Na primeira integral temos
logo
Para visualizar D, note que a fronteira inferior é a curva
para
de
a
, a fronteira superior é
, e as outras são as retas
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem, fixamos
. Observamos que em D o valor de
varia de 0 (quando
) até 1 (quando
). Para cada
em
, a condição
equivale a
, e ainda vale
. Assim, escrevemos a primeira integral com ordem trocada:
Passo 4
Para a segunda integral original
o domínio é o mesmo D. Invertendo novamente, para cada
temos
entre
e 1. Logo:
Resposta
A região comum é
$$D={(x,y)\mid 0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\ \cos x\le y\le1}.
\int_{0}^{\pi/2}!\int_{\cos x}^{1}f(x,y),dy,dx
=\int_{0}^{1}!\int_{\arccos y}^{\pi/2}f(x,y),dx,dy
=\int_{0}^{1}!\int_{\arccos y}^{\pi/2}f(x,y),dx,dy
\int_{0}{1}!\int_{0}{\arccos y}f(x,y),dx,dy
=\int_{0}^{\pi/2}!\int_{\cos x}^{1}f(x,y),dy,dx.
=\int_{0}^{\pi/2}!\int_{\cos x}^{1}f(x,y),dy,dx.
$$