Determine a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integrais.
&) integral0^pi / 2 integralcos x^1 f(x, y) d y d x. integral0^1 integral0^arccos y f(x, y) d x d y

Passo 1

O exercício pede para a gente encontrar a região D no plano xy que corresponde às integrais dadas e depois trocar a ordem de integração. O conteúdo é integração dupla com limites móveis.

Passo 2

Na primeira integral temos
0 <= x <= tfracpi2, cos x <= y <= 1
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D=(x,y)mid 0<= x<= tfracpi2, cos x<= y<=1 .
Para visualizar D, note que a fronteira inferior é a curva y=cos x para x de 0 a pi/2, a fronteira superior é y=1, e as outras são as retas x=0 e x=pi/2.

Passo 3

Para inverter a ordem, fixamos y. Observamos que em D o valor de y varia de 0 (quando x=pi/2) até 1 (quando x=0). Para cada y em [0,1], a condição cos x<= y equivale a x>= arccos y, e ainda vale x<= pi/2. Assim, escrevemos a primeira integral com ordem trocada:
integral0^pi/2!integralcos x^1f(x,y),dy,dx =integral0^1!integralarccos y^pi/2f(x,y),dx,dy

Passo 4

Para a segunda integral original
integral0^1!integral0^arccos yf(x,y),dx,dy
o domínio é o mesmo D. Invertendo novamente, para cada xin[0,pi/2] temos y entre cos x e 1. Logo:
integral0^1!integral0^arccos yf(x,y),dx,dy =integral0^pi/2!integralcos x^1f(x,y),dy,dx

Resposta

A região comum é
$$D={(x,y)\mid 0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\ \cos x\le y\le1}.
D=(x,y)mid 0<= x<= tfracpi2, cos x<= y<=1
\int_{0}^{\pi/2}!\int_{\cos x}^{1}f(x,y),dy,dx
=\int_{0}^{1}!\int_{\arccos y}^{\pi/2}f(x,y),dx,dy
integral0^pi/2!integralcos x^1f(x,y),dy,dx =integral0^1!integralarccos y^pi/2f(x,y),dx,dy
\int_{0}{1}!\int_{0}{\arccos y}f(x,y),dx,dy
=\int_{0}^{\pi/2}!\int_{\cos x}^{1}f(x,y),dy,dx.
$$

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