Encontre todas as soluções inteiras e não negativas da equação x_{1}+ x_{2}+x_{3}+x_{4}=100, quando x_{1}>0, x_{2} \geq 0,0 \leq x_{3} \leq 7 e 2 \leq x_{4} \leq 10.

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras não negativas de
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=100
sob as restrições
x_{1}\ge1, x_{2}\ge0, 0\le x_{3}\le7, 2\le x_{4}\le10.
Como temos restrições inferiores e superiores, vamos usar a técnica de “estrelas e barras” combinada com inclusão–exclusão.

Passo 2

Primeiro eliminamos as cotas inferiores em x_{1} e x_{4}. Definimos
y_{1}=x_{1}-1,\quad y_{4}=x_{4}-2,
de modo que y_{1}\ge0 e y_{4}\ge0. As variáveis x_{2} e x_{3} já são não negativas, mas ainda temos as cotas superiores
x_{3}\le7,\quad y_{4}\le8.
A soma fica
(y_{1}+1)+x_{2}+x_{3}+(y_{4}+2)=100 \quad\Longrightarrow\quad y_{1}+x_{2}+x_{3}+y_{4}=97.

Passo 3

Sem considerar as cotas superiores em x_{3} e y_{4}, o número de soluções não negativas de
y_{1}+x_{2}+x_{3}+y_{4}=97
é dado por
\binom{97+4-1}{4-1}=\binom{100}{3}=161700.

Passo 4

Agora aplicamos inclusão–exclusão para retirar as soluções em que x_{3}\ge8 ou y_{4}\ge9.
Definimos os conjuntos
A=\{\text{soluções com }x_{3}\ge8\},\quad B=\{\text{soluções com }y_{4}\ge9\}.çõçõ
Para |A|, faça x_{3}'=x_{3}-8\ge0. A soma fica y_{1}+x_{2}+x_{3}'+y_{4}=97-8=89, então
|A|=\binom{89+4-1}{3}=\binom{92}{3}=125580.
Para |B|, faça y_{4}'=y_{4}-9\ge0. A soma fica 97-9=88, logo
|B|=\binom{88+4-1}{3}=\binom{91}{3}=121485.
Para |A\cap B|, subtraia os dois débitos: 97-8-9=80, então
|A\cap B|=\binom{80+4-1}{3}=\binom{83}{3}=91881.

Passo 5

Pela inclusão–exclusão, o total de soluções que satisfazem todas as cotas é
161700 -125580 -121485 +91881 =6516.

Resposta

Há 6516 soluções inteiras não negativas que satisfazem as condições dadas.

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