Encontre todas as soluções inteiras e não negativas da equação
, quando
e
.
Passo 1
O enunciado pede o número de soluções inteiras não negativas de
sob as restrições
.
Como temos restrições inferiores e superiores, vamos usar a técnica de “estrelas e barras” combinada com inclusão–exclusão.
Como temos restrições inferiores e superiores, vamos usar a técnica de “estrelas e barras” combinada com inclusão–exclusão.
Passo 2
Primeiro eliminamos as cotas inferiores em
e
. Definimos
de modo que
e
. As variáveis
e
já são não negativas, mas ainda temos as cotas superiores
A soma fica
Passo 3
Sem considerar as cotas superiores em
e
, o número de soluções não negativas de
é dado por
Passo 4
Agora aplicamos inclusão–exclusão para retirar as soluções em que
ou
.
Definimos os conjuntos
Definimos os conjuntos
Para
, faça
. A soma fica
, então
Para
, faça
. A soma fica
, logo
Para
, subtraia os dois débitos:
, então
Passo 5
Pela inclusão–exclusão, o total de soluções que satisfazem todas as cotas é
Resposta
Há 6516 soluções inteiras não negativas que satisfazem as condições dadas.