Sete amigos, ao entrarem em um restaurante em um dia de muita chuva, deixam seus guarda-chuvas (cada um levava um) em um local apropriado do restaurante para esse fim. Após beberem muitas cervejas, nenhum dos sete amigos estava muito bem e, ao deixarem o restaurante, pegaram os guarda-chuvas aleatoriamente, sem observar se eram os seus. Considerando que não havia outros guarda-chuvas além dos seus, qual é a probabilidade de:
a) Todos os amigos peguem um outro guarda-chuva qualquer que não seja o seu?
b) Somente uma pessoa pegue o guarda-chuva certo?
c) Somente uma determinada pessoa pegue o guarda-chuva certo?

Passo 1

O enunciado descreve 7 amigos que deixam seus guarda-chuvas em um local e depois os pegam numa ordem aleatória. Cada arranjo possível corresponde a uma permutação de 7 objetos. Vamos usar o conceito de derangement (permutações sem pontos fixos), obtido pelo princípio de inclusão–exclusão, para contar (a) nenhum amigo acerta, (b) exatamente um acerta, e (c) um amigo determinado acerta e os demais não.

Passo 2

A fórmula geral para o número de derangements de n objetos é
D_{n} \;=\; n!\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k!}.
Aplicando a n=6 e n=7, temos
D_{6} = 6!\Bigl(1 - \tfrac{1}{1!} + \tfrac{1}{2!} - \tfrac{1}{3!} + \tfrac{1}{4!} - \tfrac{1}{5!} + \tfrac{1}{6!}\Bigr) = 265,
D_{7} = 7!\Bigl(1 - \tfrac{1}{1!} + \tfrac{1}{2!} - \tfrac{1}{3!} + \tfrac{1}{4!} - \tfrac{1}{5!} + \tfrac{1}{6!} - \tfrac{1}{7!}\Bigr) = 1854.
A probabilidade de ninguém pegar o próprio guarda-chuva é o número de derangements de 7 dividido por 7!, ou seja
\frac{D_{7}}{7!} = \frac{1854}{5040} = \frac{103}{280}\approx0,3679.

Passo 3

Para exatamente uma pessoa pegar o guarda-chuva certo, escolhemos qual pessoa será fixa em \binom{7}{1} formas e deranjamos os 6 restantes. O total de permutações com exatamente um ponto fixo é
\binom{7}{1}\,D_{6} \;=\; 7\times265 \;=\; 1855.
A probabilidade correspondente é
\frac{1855}{5040} = \frac{53}{144}\approx0,3681.

Passo 4

Para que somente uma pessoa determinada (digamos, a pessoa A) pegue seu próprio guarda-chuva, fixamos A e deranjamos os outros 6. O número de arranjos válidos é D_{6}=265 e a probabilidade é
\frac{265}{5040} = \frac{53}{1008}\approx0,0526.

Resposta

a) \displaystyle \frac{103}{280}\approx0,3679
b) \displaystyle \frac{53}{144}\approx0,3681
c) \displaystyle \frac{53}{1008}\approx0,0526

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