Sete amigos, ao entrarem em um restaurante em um dia de muita chuva, deixam seus guarda-chuvas (cada um levava um) em um local apropriado do restaurante para esse fim. Após beberem muitas cervejas, nenhum dos sete amigos estava muito bem e, ao deixarem o restaurante, pegaram os guarda-chuvas aleatoriamente, sem observar se eram os seus. Considerando que não havia outros guarda-chuvas além dos seus, qual é a probabilidade de:
a) Todos os amigos peguem um outro guarda-chuva qualquer que não seja o seu?
b) Somente uma pessoa pegue o guarda-chuva certo?
c) Somente uma determinada pessoa pegue o guarda-chuva certo?
a) Todos os amigos peguem um outro guarda-chuva qualquer que não seja o seu?
b) Somente uma pessoa pegue o guarda-chuva certo?
c) Somente uma determinada pessoa pegue o guarda-chuva certo?
Passo 1
O enunciado descreve
amigos que deixam seus guarda-chuvas em um local e depois os pegam numa ordem aleatória. Cada arranjo possível corresponde a uma permutação de
objetos. Vamos usar o conceito de derangement (permutações sem pontos fixos), obtido pelo princípio de inclusão–exclusão, para contar (a) nenhum amigo acerta, (b) exatamente um acerta, e (c) um amigo determinado acerta e os demais não.
Passo 2
A fórmula geral para o número de derangements de
objetos é
Aplicando a
e
, temos
A probabilidade de ninguém pegar o próprio guarda-chuva é o número de derangements de
dividido por
, ou seja
Passo 3
Para exatamente uma pessoa pegar o guarda-chuva certo, escolhemos qual pessoa será fixa em
formas e deranjamos os
restantes. O total de permutações com exatamente um ponto fixo é
A probabilidade correspondente é
Passo 4
Para que somente uma pessoa determinada (digamos, a pessoa A) pegue seu próprio guarda-chuva, fixamos A e deranjamos os outros
. O número de arranjos válidos é
e a probabilidade é
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)