Responda as seguintes perguntas (justifique suas respostas):
Se
é uma função periódica de período
, tal que
é contínua por partes no intervalo
, então
se representa por uma série de Fourier em
?
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é periódica de período . -
é contínua por partes no intervalo .
A pergunta que devo responder é:
- Será que
se representa por uma série de Fourier em ? (ou seja: existe a série de Fourier de e ela converge para em ?)
Passo 2
Primeiro eu explico o que significa ter
contínua por partes e as consequências imediatas para
.
- Dizer que
é contínua por partes em significa que existe uma partição tal que em cada intervalo aberto a derivada é contínua (logo integrável) e nas próprias aberturas pode ter saltos finitos. - Se
é integrável em cada pedaço, então em cada a função é de classe (derivável com derivada contínua) e, integrando , obtém-se que é contínua nesses intervalos. Nos pontos de junção a função também é contínua porque uma função que tem derivada integrável nas proximidades não apresenta salto no próprio valor (o valor de nos pontos é obtido por continuidade da primitiva). Portanto, sob a hipótese, é contínua em todo . - Como
é periódica de período , essa continuidade se estende naturalmente ao círculo periódico; isto é, tem limites laterais iguais em por periodicidade.
Resumo útil: a hipótese implica que
é periódica e piecewise-
(ou “piecewise smooth”) em
e, em particular, é integrável e tem limites laterais em todos os pontos.
Passo 3
Vou escrever a definição da série de Fourier e garantir que os coeficientes estão bem definidos.
A série de Fourier (na forma trigonométrica) de uma função periódica de período
é
com os coeficientes dados por
Como
é integrável (é contínua por partes), essas integrais estão bem definidas para todo
. Logo a série de Fourier existe no sentido de que os coeficientes são definidos.
Passo 4
Agora mostro que os coeficientes decaem como
. Isso é útil para aplicar o teste de Dirichlet e entender a convergência.
Faço integração por partes no cálculo de
. Seja
Escolho
e
. Então
Aplicando integração por partes:
Pelo fato de
ser zero em
(pois
) e
ser periódico (em particular finito nos extremos), o termo de fronteira vale zero. Assim
Como
é contínua por partes, é integrável, logo existe uma constante
tal que
. Daí
Portanto
.
De maneira inteiramente análoga (integrando por partes com
e
) obtém-se
e portanto também
.
Comentário intuitivo: os coeficientes decaem como
quando a função tem derivada por partes contínua; quanto mais suave for
, mais rápido o decaimento dos coeficientes.
Passo 5
Uso agora um teorema de convergência (Teorema de Dirichlet para séries de Fourier) para concluir sobre a representação por série de Fourier.
Teorema de Dirichlet (forma para Fourier): se
é periódica, tem número finito de descontinuidades e número finito de extremos locais em
(condições satisfeitas se
for piecewise-
), então a série de Fourier de
converge, para cada
, para
isto é, para a média dos limites laterais. Em particular, nos pontos onde
é contínua, a série converge para
.
Aplicando isso ao nosso caso: já estabeleci que
é contínua em todo
(e a periodicidade dá continuidade ao redor do círculo), então em todo
temos
. Logo a série de Fourier converge ponto a ponto para
em todo
.
Portanto, sim:
é representável por sua série de Fourier (a série de Fourier converge para
em cada ponto).
Passo 6
Observações adicionais importantes (para a prova e para o entendimento prático):
- Tipo de convergência: a conclusão acima garante convergência pontual (em todo
) e convergência em cada ponto para o valor da função. A hipótese dada não garante, sem hipóteses extras, convergência absoluta nem necessariamente convergência uniforme. De fato: - Como
, a soma pode divergir (comportamento tipo harmônico), então não se garante convergência absoluta geral. - A convergência uniforme requer hipóteses mais fortes (por exemplo
de classe com contínua em todo o intervalo pode providenciar resultados mais fortes); contraexemplos clássicos mostram que Fourier series de funções contínuas podem não convergir uniformemente.
- Como
- Para obter convergência uniforme dos somatórios de Fourier existem resultados como teoremas de Dirichlet aprimorados ou condições de Hölder/Lipschitz sobre
(por exemplo se for Lipschitz então a série converge uniformemente). - Se o objetivo da prova é apenas afirmar que existe representação por série de Fourier que reproduz
ponto a ponto, a hipótese dada (derivada contínua por partes) é suficiente.
Passo 7
Recapitulando de forma direta e encorajadora: a hipótese de que
é contínua por partes dá exatamente as hipóteses usuais de Dirichlet (função piecewise-smooth). Isso garante que a série de Fourier de
existe (coeficientes bem definidos) e converge, em cada ponto, para a média dos limites laterais; como
é contínua, essa média é
e assim a série converge para
em todo o intervalo.
Resposta
Sim. Sob a hipótese de que
é contínua por partes (logo
é piecewise-
e contínua), a série de Fourier de
existe e converge em cada ponto
para
.