Responda as seguintes perguntas (justifique suas respostas):
Se f é uma função periódica de período 2 L, tal que f^{\prime}(x) é contínua por partes no intervalo (-L, L), então f(x) se representa por uma série de Fourier em [-L, L] ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f é periódica de período 2L.
  • f^{\prime}(x) é contínua por partes no intervalo (-L,L).
A pergunta que devo responder é:
  • Será que f(x) se representa por uma série de Fourier em [-L,L]? (ou seja: existe a série de Fourier de f e ela converge para f(x) em [-L,L]?)

Passo 2

Primeiro eu explico o que significa ter f^{\prime} contínua por partes e as consequências imediatas para f.
  • Dizer que f^{\prime} é contínua por partes em (-L,L) significa que existe uma partição -L=x_0<x_1<\dots<x_m=L tal que em cada intervalo aberto (x_{k-1},x_k) a derivada f^{\prime} é contínua (logo integrável) e nas próprias aberturas pode ter saltos finitos.
  • Se f^{\prime} é integrável em cada pedaço, então em cada (x_{k-1},x_k) a função f é de classe C^1 (derivável com derivada contínua) e, integrando f', obtém-se que f é contínua nesses intervalos. Nos pontos de junção x_k a função f também é contínua porque uma função que tem derivada integrável nas proximidades não apresenta salto no próprio valor (o valor de f nos pontos é obtido por continuidade da primitiva). Portanto, sob a hipótese, f é contínua em todo (-L,L).
  • Como f é periódica de período 2L, essa continuidade se estende naturalmente ao círculo periódico; isto é, f tem limites laterais iguais em x=\pm L por periodicidade.
Resumo útil: a hipótese implica que f é periódica e piecewise- C^1 (ou “piecewise smooth”) em [-L,L] e, em particular, é integrável e tem limites laterais em todos os pontos.

Passo 3

Vou escrever a definição da série de Fourier e garantir que os coeficientes estão bem definidos.
A série de Fourier (na forma trigonométrica) de uma função periódica de período 2L é
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right),
com os coeficientes dados por
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,\qquad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Como f é integrável (é contínua por partes), essas integrais estão bem definidas para todo n. Logo a série de Fourier existe no sentido de que os coeficientes são definidos.

Passo 4

Agora mostro que os coeficientes decaem como O(1/n). Isso é útil para aplicar o teste de Dirichlet e entender a convergência.
Faço integração por partes no cálculo de a_n. Seja
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Escolho u=f(x) e dv=\cos\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\,dx. Então
v=\frac{L}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad du=f'(x)\,dx.
Aplicando integração por partes:
\int_{-L}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx = \left[f(x)\cdot\frac{L}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right]_{-L}^{L} - \frac{L}{n\pi}\int_{-L}^{L} f'(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Pelo fato de \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) ser zero em x=\pm L (pois \sin(\pm n\pi)=0) e f ser periódico (em particular finito nos extremos), o termo de fronteira vale zero. Assim
a_n = -\frac{1}{n\pi}\int_{-L}^{L} f'(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Como f' é contínua por partes, é integrável, logo existe uma constante M tal que \int_{-L}^{L}|f'(x)|\,dx \le M. Daí
|a_n| \le \frac{1}{n\pi}\int_{-L}^{L} |f'(x)|\,dx \le \frac{M}{n\pi}.
Portanto a_n=O\!\left(\dfrac{1}{n}\right).
De maneira inteiramente análoga (integrando por partes com u=f(x) e dv=\sin(\cdot)\,dx) obtém-se
b_n = \frac{1}{n\pi}\int_{-L}^{L} f'(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,
e portanto também b_n=O\!\left(\dfrac{1}{n}\right).
Comentário intuitivo: os coeficientes decaem como 1/n quando a função tem derivada por partes contínua; quanto mais suave for f, mais rápido o decaimento dos coeficientes.

Passo 5

Uso agora um teorema de convergência (Teorema de Dirichlet para séries de Fourier) para concluir sobre a representação por série de Fourier.
Teorema de Dirichlet (forma para Fourier): se f é periódica, tem número finito de descontinuidades e número finito de extremos locais em [-L,L] (condições satisfeitas se f for piecewise- C^1), então a série de Fourier de f converge, para cada x, para
\frac{f(x+)+f(x-)}{2},
isto é, para a média dos limites laterais. Em particular, nos pontos onde f é contínua, a série converge para f(x).
Aplicando isso ao nosso caso: já estabeleci que f é contínua em todo (-L,L) (e a periodicidade dá continuidade ao redor do círculo), então em todo x temos f(x+)=f(x-)=f(x). Logo a série de Fourier converge ponto a ponto para f(x) em todo [-L,L].
Portanto, sim: f(x) é representável por sua série de Fourier (a série de Fourier converge para f(x) em cada ponto).

Passo 6

Observações adicionais importantes (para a prova e para o entendimento prático):
  • Tipo de convergência: a conclusão acima garante convergência pontual (em todo x) e convergência em cada ponto para o valor da função. A hipótese dada não garante, sem hipóteses extras, convergência absoluta nem necessariamente convergência uniforme. De fato:
    • Como a_n,b_n=O(1/n), a soma \sum |a_n|+\sum |b_n| pode divergir (comportamento tipo harmônico), então não se garante convergência absoluta geral.
    • A convergência uniforme requer hipóteses mais fortes (por exemplo f de classe C^1 com f' contínua em todo o intervalo pode providenciar resultados mais fortes); contraexemplos clássicos mostram que Fourier series de funções contínuas podem não convergir uniformemente.
  • Para obter convergência uniforme dos somatórios de Fourier existem resultados como teoremas de Dirichlet aprimorados ou condições de Hölder/Lipschitz sobre f (por exemplo se f for Lipschitz então a série converge uniformemente).
  • Se o objetivo da prova é apenas afirmar que existe representação por série de Fourier que reproduz f ponto a ponto, a hipótese dada (derivada contínua por partes) é suficiente.

Passo 7

Recapitulando de forma direta e encorajadora: a hipótese de que f' é contínua por partes dá exatamente as hipóteses usuais de Dirichlet (função piecewise-smooth). Isso garante que a série de Fourier de f existe (coeficientes bem definidos) e converge, em cada ponto, para a média dos limites laterais; como f é contínua, essa média é f(x) e assim a série converge para f(x) em todo o intervalo.

Resposta

Sim. Sob a hipótese de que f^{\prime} é contínua por partes (logo f é piecewise- C^1 e contínua), a série de Fourier de f existe e converge em cada ponto x\in[-L,L] para f(x).

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