Encontre todas as soluções não triviais do problema de autovalores:
y^{\prime \prime}+\lambda y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(1)=0 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções não triviais do problema de autovalores
y^{\prime\prime}+\lambda y=0,\qquad y(0)=0,\qquad y^{\prime}(1)=0.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é linear, homogênea e com coeficientes constantes: \,y^{\prime\prime}+\lambda y=0.
  • As condições de contorno são de tipo mista: valor em x=0 e derivada em x=1.
  • Procuramos soluções não triviais, ou seja, funções y\not\equiv0 que satisfaçam a equação e as condições para certos valores de \lambda (os autovalores).

Passo 2

Estratégia: resolver a equação geral dependendo do sinal de \lambda. Vou explicar a técnica básica: para a equação de segunda ordem com coeficientes constantes
y^{\prime\prime}+\lambda y=0
procuramos uma solução do tipo y(x)=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+\lambda=0.
As raízes r determinam a forma geral da solução:
  • Se \lambda=0 então r=0 (raiz dupla) → soluções polinomiais y=Ax+B.
  • Se \lambda<0 escrevemos \lambda=-k^{2} com k>0, as raízes são reais r=\pm k → soluções exponenciais.
  • Se \lambda>0 escrevemos \lambda=\mu^{2} com \mu>0, as raízes são imaginárias r=\pm i\mu → soluções trigonométricas \cos e \sin.
Vou estudar cada caso aplicando as condições de contorno e verificar quando aparecem soluções não triviais.

Passo 3

Caso \lambda=0.
A equação fica \,y^{\prime\prime}=0. Integramos duas vezes:
y(x)=A x + B,
onde A,B são constantes. Usando a condição y(0)=0 obtemos
y(0)=B=0.
A condição y^{\prime}(1)=0 y^{\prime}(x)=A, então
y^{\prime}(1)=A=0.
Portanto A=0 e B=0, ou seja, a única solução é a solução trivial y\equiv0. Conclusão: \lambda=0 não produz soluções não triviais.

Passo 4

Caso \lambda<0. Escrevemos \lambda=-k^{2} com k>0.
A equação é \,y^{\prime\prime}-k^{2}y=0. A solução geral é
y(x)=C e^{kx}+D e^{-kx}.
Aplicando y(0)=0 obtemos C+D=0, logo D=-C e
y(x)=C\big(e^{kx}-e^{-kx}\big)=2C\operatorname{sinh}(kx).
A derivada é
y^{\prime}(x)=2Ck\operatorname{cosh}(kx).
A condição y^{\prime}(1)=0 implica 2Ck\operatorname{cosh}(k)=0. Como k>0 e \operatorname{cosh}(k)>0 para todo k>0, isso força C=0. Assim y\equiv0 novamente. Conclusão: não há soluções não triviais para \lambda<0.

Passo 5

Caso \lambda>0. Escrevemos \lambda=\mu^{2} com \mu>0.
A equação é \,y^{\prime\prime}+\mu^{2}y=0. A solução geral é
y(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x).
Aplicando y(0)=0
y(0)=A=0,
então as soluções ficam
y(x)=B\sin(\mu x).
A derivada é
y^{\prime}(x)=B\mu\cos(\mu x).
A condição y^{\prime}(1)=0
y^{\prime}(1)=B\mu\cos(\mu)=0.
Para obter uma solução não trivial precisamos que B\neq0. Como \mu>0, isso exige
\cos(\mu)=0.
Agora explico onde \cos(\mu)=0: os zeros do cosseno ocorrem em
\mu=\frac{(2n+1)\pi}{2},\qquad n=0,1,2,\dots
(Isto vem do conhecimento básico das funções trigonométricas: \cos(\theta)=0 quando \theta é um ângulo ímpar de \pi/2.)

Passo 6

Logo os valores permitidos de \mu são \mu_{n}=\dfrac{(2n+1)\pi}{2}. Como \lambda=\mu^{2}, os autovalores são
\lambda_{n}=\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right)^{2},\qquad n=0,1,2,\dots
Para cada \lambda_{n} a constante B pode ser qualquer número não nulo (multiplicador escalar) e as funções correspondentes são
y_{n}(x)=B\sin\!\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\,x\right).
Normalmente escolhe-se uma constante de normalização (por exemplo B=1 ou escolhendo norma unitária), mas qualquer múltiplo não nulo é uma solução válida.

Passo 7

Resumo prático e exemplos rápidos para fixar:
  • Para n=0: \mu_{0}=\dfrac{\pi}{2}, \lambda_{0}=\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{2}, e uma autofunção é y_{0}(x)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}x\right).
  • Para n=1: \mu_{1}=\dfrac{3\pi}{2}, \lambda_{1}=\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)^{2}, e uma autofunção é y_{1}(x)=\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{2}x\right).
    E assim por diante. Você pode escolher a constante multiplicativa que preferir.

Resposta

\displaystyle \lambda_{n}=\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right)^{2},\quad n=0,1,2,\dots
\displaystyle y_{n}(x)=C\sin\!\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\,x\right),\quad C\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\; n=0,1,2,\dots

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