Encontre todas as soluções não triviais do problema de autovalores:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as soluções não triviais do problema de autovalores
Informações dadas:
- A equação diferencial é linear, homogênea e com coeficientes constantes:
. - As condições de contorno são de tipo mista: valor em
e derivada em . - Procuramos soluções não triviais, ou seja, funções
que satisfaçam a equação e as condições para certos valores de (os autovalores).
Passo 2
Estratégia: resolver a equação geral dependendo do sinal de
. Vou explicar a técnica básica: para a equação de segunda ordem com coeficientes constantes
procuramos uma solução do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
As raízes
determinam a forma geral da solução:
- Se
então (raiz dupla) → soluções polinomiais . - Se
escrevemos com , as raízes são reais → soluções exponenciais. - Se
escrevemos com , as raízes são imaginárias → soluções trigonométricas e .
Vou estudar cada caso aplicando as condições de contorno e verificar quando aparecem soluções não triviais.
Passo 3
Caso
.
A equação fica
. Integramos duas vezes:
onde
são constantes. Usando a condição
obtemos
A condição
dá
, então
Portanto
e
, ou seja, a única solução é a solução trivial
. Conclusão:
não produz soluções não triviais.
Passo 4
Caso
. Escrevemos
com
.
A equação é
. A solução geral é
Aplicando
obtemos
, logo
e
A derivada é
A condição
implica
. Como
e
para todo
, isso força
. Assim
novamente. Conclusão: não há soluções não triviais para
.
Passo 5
Caso
. Escrevemos
com
.
A equação é
. A solução geral é
Aplicando
dá
então as soluções ficam
A derivada é
A condição
dá
Para obter uma solução não trivial precisamos que
. Como
, isso exige
Agora explico onde
: os zeros do cosseno ocorrem em
(Isto vem do conhecimento básico das funções trigonométricas:
quando
é um ângulo ímpar de
.)
Passo 6
Logo os valores permitidos de
são
. Como
, os autovalores são
Para cada
a constante
pode ser qualquer número não nulo (multiplicador escalar) e as funções correspondentes são
Normalmente escolhe-se uma constante de normalização (por exemplo
ou escolhendo norma unitária), mas qualquer múltiplo não nulo é uma solução válida.
Passo 7
Resumo prático e exemplos rápidos para fixar:
- Para
: , , e uma autofunção é . - Para
: , , e uma autofunção é .
E assim por diante. Você pode escolher a constante multiplicativa que preferir.