Encontre todas as soluções não triviais do problema de autovalores:
Passo 1
O enunciado dá o problema de autovalores
e pede: encontrar todas as soluções não triviais (isto é, funções
não identicamente zero) e os correspondentes valores de
para os quais elas existem. Dados relevantes:
- A equação é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e parâmetro
real. - As condições de contorno são uma condição de Neumann em
( ) e uma condição de Dirichlet em ( ). - Procuramos os valores de
que permitem soluções não-triviais .
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): como a equação tem coeficientes constantes, resolvemos a equação característica
e as naturezas das raízes (reais, nulas ou imaginárias) dependem do sinal de
. Portanto dividimos em três casos:
-
, -
, -
.
Para cada caso encontramos a solução geral e impomos as condições de contorno para verificar se existe solução não-trivial. Explicação rápida de por que isso funciona: a solução geral de uma EDO linear homogênea é combinação linear de duas soluções independentes; as condições de contorno impõem duas equações lineares nos coeficientes — existe solução não-trivial se e somente se o sistema para os coeficientes tiver determinante zero, que normalmente produzirá uma condição sobre(os autovalores).
Passo 3
Caso
. Escreva
com
. A equação torna-se
cuja solução geral é
onde
são constantes. Derivando,
Impondo
obtemos
Logo
Agora impondo
dá
Mas
para todo
, logo a única possibilidade é
, o que produz a solução trivial. Conclusão: não existem soluções não-triviais para
.
Passo 4
Caso
. A equação fica
cuja solução geral é
Derivando,
. A condição
implica
, então
(constante). Impondo
leva a
. Portanto só a solução trivial existe para
. Conclusão:
não é autovalor.
Passo 5
Caso
. Escreva
com
. A equação é
cuja solução geral é
Derivando,
Impondo
obtemos
(pois
). Então a solução reduz-se a
Impondo
dá
Para obter uma solução não-trivial precisamos
, logo devemos ter
. As soluções de
são
Portanto os autovalores são
e os autovetores (autofunções) correspondentes, escolhendo
como constante de normalização arbitrária, são
(qualquer múltiplo escalar dessas funções também é solução não-trivial). Observação pedagógica: a condição mista (Neumann em 0 e Dirichlet em 1) força as frequências
a serem os zeros de
, daí a aparência
.
Passo 6
Conclusão final: não há autovalores negativos nem zero; todos os autovalores são positivos e dados por
acima, com autofunções
correspondentes. Cada autovalor tem multiplicidade 1 (o espaço de soluções é gerado por
).