Encontre todas as soluções não triviais do problema de autovalores:
y^{\prime \prime}+\lambda y=0, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y(1)=0 .

Passo 1

O enunciado dá o problema de autovalores
y''+\lambda y=0, \qquad y'(0)=0, \qquad y(1)=0,
e pede: encontrar todas as soluções não triviais (isto é, funções y não identicamente zero) e os correspondentes valores de \lambda para os quais elas existem. Dados relevantes:
  • A equação é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e parâmetro \lambda real.
  • As condições de contorno são uma condição de Neumann em x=0 ( y'(0)=0) e uma condição de Dirichlet em x=1 ( y(1)=0).
  • Procuramos os valores de \lambda que permitem soluções não-triviais y.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): como a equação tem coeficientes constantes, resolvemos a equação característica
r^{2}+\lambda=0,
e as naturezas das raízes (reais, nulas ou imaginárias) dependem do sinal de \lambda. Portanto dividimos em três casos:
  • \lambda<0,
  • \lambda=0,
  • \lambda>0.
    Para cada caso encontramos a solução geral e impomos as condições de contorno para verificar se existe solução não-trivial. Explicação rápida de por que isso funciona: a solução geral de uma EDO linear homogênea é combinação linear de duas soluções independentes; as condições de contorno impõem duas equações lineares nos coeficientes — existe solução não-trivial se e somente se o sistema para os coeficientes tiver determinante zero, que normalmente produzirá uma condição sobre \lambda (os autovalores).

Passo 3

Caso \lambda<0. Escreva \lambda=-\mu^{2} com \mu>0. A equação torna-se
y''-\mu^{2}y=0,
cuja solução geral é
y(x)=A e^{\mu x}+B e^{-\mu x},
onde A,B são constantes. Derivando,
y'(x)=\mu A e^{\mu x}-\mu B e^{-\mu x}.
Impondo y'(0)=0 obtemos
y'(0)=\mu(A-B)=0 \quad\Rightarrow\quad A=B.
Logo
y(x)=A\big(e^{\mu x}+e^{-\mu x}\big)=2A\operatorname{cosh}(\mu x).
Agora impondo y(1)=0
y(1)=2A\operatorname{cosh}(\mu)=0.
Mas \operatorname{cosh}(\mu)>0 para todo \mu>0, logo a única possibilidade é A=0, o que produz a solução trivial. Conclusão: não existem soluções não-triviais para \lambda<0.

Passo 4

Caso \lambda=0. A equação fica
y''=0,
cuja solução geral é
y(x)=Ax+B.
Derivando, y'(x)=A. A condição y'(0)=0 implica A=0, então y(x)=B (constante). Impondo y(1)=0 leva a B=0. Portanto só a solução trivial existe para \lambda=0. Conclusão: \lambda=0 não é autovalor.

Passo 5

Caso \lambda>0. Escreva \lambda=\omega^{2} com \omega>0. A equação é
y''+\omega^{2}y=0,
cuja solução geral é
y(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x).
Derivando,
y'(x)=-A\omega\sin(\omega x)+B\omega\cos(\omega x).
Impondo y'(0)=0 obtemos
y'(0)=B\omega=0 \quad\Rightarrow\quad B=0
(pois \omega>0). Então a solução reduz-se a
y(x)=A\cos(\omega x).
Impondo y(1)=0
y(1)=A\cos(\omega)=0.
Para obter uma solução não-trivial precisamos A\neq0, logo devemos ter \cos(\omega)=0. As soluções de \cos(\omega)=0 são
\omega=\frac{(2n+1)\pi}{2},\qquad n=0,1,2,\dots
Portanto os autovalores são
\lambda_{n}=\omega^{2}=\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right)^{2},\qquad n=0,1,2,\dots
e os autovetores (autofunções) correspondentes, escolhendo A=1 como constante de normalização arbitrária, são
y_{n}(x)=\cos\!\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}x\right),\qquad n=0,1,2,\dots
(qualquer múltiplo escalar dessas funções também é solução não-trivial). Observação pedagógica: a condição mista (Neumann em 0 e Dirichlet em 1) força as frequências \omega a serem os zeros de \cos, daí a aparência (2n+1)\pi/2.

Passo 6

Conclusão final: não há autovalores negativos nem zero; todos os autovalores são positivos e dados por \lambda_{n} acima, com autofunções \cos correspondentes. Cada autovalor tem multiplicidade 1 (o espaço de soluções é gerado por y_{n}).

Resposta

\displaystyle \lambda_{n}=\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right)^{2},\quad n=0,1,2,\dots
\displaystyle y_{n}(x)=\cos\!\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}x\right),\quad n=0,1,2,\dots

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