Encontre todas as soluções das seguintes EDOs,
y^{\prime}+e^{x} y=3 e^{x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as soluções da equação diferencial ordinária de primeira ordem
y'+e^{x}y=3e^{x}.
Informações que temos (retiradas diretamente do enunciado):
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A derivada de y em relação a x é denotada por y'.
  • Os coeficientes são funções de x: o termo que multiplica y é p(x)=e^{x} e o termo do lado direito é q(x)=3e^{x}.
  • A questão pede a família geral de soluções (ou seja, a solução geral com a constante arbitrária de integração).

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vamos usar).
Para uma equação linear de primeira ordem do tipo
y'+p(x)y=q(x),
existe um método padrão chamado fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) (o fator integrante) escolhida de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto \mu(x)y(x). Isso facilita porque então podemos integrar diretamente.
A razão disso é a regra do produto: se \mu=\mu(x) então
(\mu y)'=\mu y'+\mu' y.
Queremos que \mu'=\mu p(x), pois assim \mu y'+\mu' y=\mu y'+\mu p(x) y=\mu\bigl(y'+p(x)y\bigr). Logo escolhemos \mu de forma que
\frac{\mu'}{\mu}=p(x)\quad\Rightarrow\quad \mu(x)=\exp\!\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr).
Vou aplicar isso ao nosso p(x)=e^{x}.

Passo 3

Cálculo do fator integrante \mu(x).
Temos p(x)=e^{x}. Então
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int e^{x}\,dx\Bigr).
Como \int e^{x}\,dx=e^{x} (mais uma constante irrelevante multiplicativa), obtemos
\mu(x)=e^{e^{x}}.
Observação: multiplicar \mu por uma constante positiva daria outro fator integrante válido; normalmente tomamos a forma acima por simplicidade.

Passo 4

Multiplicar a EDO por \mu(x) e usar a propriedade do produto.
Multiplicando a equação original por \mu(x)=e^{e^{x}} obtemos
e^{e^{x}}y' + e^{e^{x}}e^{x}y = 3e^{e^{x}}e^{x}.
Pelo cálculo de \mu' (vou mostrar porque \mu'=\mu e^{x}):
\mu'(x)=\frac{d}{dx}e^{e^{x}} = e^{e^{x}}\cdot \frac{d}{dx}(e^{x}) = e^{e^{x}}\cdot e^{x}=e^{x}e^{e^{x}}=\mu(x)e^{x}.
Portanto o lado esquerdo é exatamente
\mu y' + \mu' y = (\mu y)'.
Assim reescrevemos a equação como
(\mu y)' = 3e^{x}\mu,
ou seja
\bigl(e^{e^{x}}y\bigr)' = 3e^{x}e^{e^{x}}.

Passo 5

Integração de ambos os lados.
Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{e^{x}}y\bigr)'\,dx = \int 3e^{x}e^{e^{x}}\,dx.
O lado esquerdo integra diretamente para e^{e^{x}}y. No lado direito fazemos a substituição padrão para integrar:
\text{faça }u=e^{x}\Rightarrow du=e^{x}dx.ç
Então
\int 3e^{x}e^{e^{x}}\,dx = \int 3 e^{u} \,du = 3 e^{u} + C = 3 e^{e^{x}} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Resultado após integração (forma antes de isolar y).
A igualdade obtida é
e^{e^{x}}y = 3 e^{e^{x}} + C,
com C\in\mathbb{R}. Este passo é o ponto em que se isola y dividindo por e^{e^{x}} para obter a família geral de soluções (a expressão final será colocada apenas na seção de resposta, conforme solicitado).

Passo 7

Verificação rápida de consistência e comentários didáticos.
  • Ao derivar ambos os lados da igualdade do Passo 6 obtém-se de volta a equação do Passo 4, o que mostra consistência no procedimento:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{e^{x}}y\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(3e^{e^{x}}+C\bigr)\Rightarrow e^{e^{x}}y'+e^{e^{x}}e^{x}y=3e^{e^{x}}e^{x},
que, dividindo por e^{e^{x}}, retorna à EDO original.
  • Tomando C=0 na expressão do Passo 6 obtém-se uma solução particular simples (que é útil em provas): a solução particular corresponde a y constante tal que e^{e^{x}}y=3e^{e^{x}}, ou seja y=3. De fato, y\equiv 3 satisfaz \,y'+e^{x}y=0+e^{x}\cdot 3=3e^{x}.
  • A constante C é arbitrária e determina a solução geral da família de soluções. O domínio natural da solução é todo \mathbb{R} porque todas as funções envolvidas estão bem definidas para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 8

Dica prática para a prova (resumo rápido do método, como decorar).
  • Para uma EDO y'+p(x)y=q(x), lembrar: fator integrante \mu(x)=\exp\!\bigl(\int p(x)\,dx\bigr).
  • Multiplica-se a EDO por \mu e reconhece-se o lado esquerdo como (\mu y)'. Integra-se e isola-se y.
  • Em integrais do tipo \int e^{x}e^{e^{x}}dx, a substituição u=e^{x} é a chave porque transforma e^{x}dx em du.

Resposta

y(x)=3+Ce^{-e^{x}},\quad C\in\mathbb{R}.

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