Encontre todas as soluções de 6 x \equiv 18(\bmod 24).

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre todas as soluções de 6x \equiv 18 \pmod{24}".\n
Informações dadas:
  • Coeficiente do x: 6.
  • Termo independente: 18.
  • Módulo: 24.
  • A questão quer todas as soluções inteiras consideradas modulo 24 (ou seja, todas as classes residuais x que satisfazem a congruência).

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar): para resolver uma congruência linear ax\equiv b\pmod{n} precisamos calcular o máximo divisor comum \gcd(a,n). Se \gcd(a,n) não divide b, não há solução. Se \gcd(a,n) divide b, existem exatamente \gcd(a,n) soluções distintas módulo n.\n
Por que isso? Intuição simples: se g=\gcd(a,n), então ax-b deve ser múltiplo de n, e isso só é possível se b estiver no mesmo “múltiplo comum” de g. Quando g\mid b podemos dividir toda a congruência por g e reduzir para um caso onde o coeficiente e o módulo ficam coprimos — aí há solução única modulo o módulo reduzido; ao voltar ao módulo original aparecem g soluções distintas.

Passo 3

Calcule \gcd(6,24).\n
Usando a divisão: 24 = 6\cdot 4 + 0. Logo
\gcd(6,24)=6.
Como 6 divide 18 (pois 18=6\cdot 3), a congruência tem solução(s). Segundo o que falamos, haverá exatamente 6 soluções distintas módulo 24.

Passo 4

Dividimos a congruência por g=6 para simplificar. Dividindo 6x\equiv18\pmod{24} por 6 obtemos
1\cdot x \equiv 3 \pmod{4},
porque 6/6=1, 18/6=3 e 24/6=4.\n
Explicando: passar para a congruência reduzida é exatamente o passo que transforma o problema em um com coeficiente coprimo ao novo módulo, o que nos permite resolver diretamente.

Passo 5

Resolver a congruência reduzida \;x\equiv 3\pmod{4}\;. Aqui o coeficiente do x é 1, cujo inverso modular é 1 — portanto a solução única modulo 4 é
x\equiv 3 \pmod{4}.
Isto significa que todas as soluções inteiras têm a forma x = 3 + 4k, com k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Agora precisamos listar as soluções distintas modulo 24. Como \gcd(6,24)=6, teremos 6 classes distintas modulo 24. Pegamos k=0,1,2,3,4,5 e calculamos
x = 3 + 4k.
Isso dá os resíduos (mod 24):
3,\;7,\;11,\;15,\;19,\;23.
Verificação rápida: para qualquer um desses x,
6x = 6(3+4k)=18+24k \equiv 18 \pmod{24},
portanto todos satisfazem a congruência e são distintos modulo 24.

Resposta

x\equiv 3 \pmod{4}.\n
Equivalentemente, x\in\{3,7,11,15,19,23\} (resíduos distintos módulo 24).

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