Encontre todas as soluções de
.
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre todas as soluções de
".\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Coeficiente do
: . - Termo independente:
. - Módulo:
. - A questão quer todas as soluções inteiras consideradas modulo
(ou seja, todas as classes residuais que satisfazem a congruência).
Passo 2
Conceito importante (explicado devagar): para resolver uma congruência linear
precisamos calcular o máximo divisor comum
. Se
não divide
, não há solução. Se
divide
, existem exatamente
soluções distintas módulo
.\n
Por que isso? Intuição simples: se , então
deve ser múltiplo de
, e isso só é possível se
estiver no mesmo “múltiplo comum” de
. Quando
podemos dividir toda a congruência por
e reduzir para um caso onde o coeficiente e o módulo ficam coprimos — aí há solução única modulo o módulo reduzido; ao voltar ao módulo original aparecem
soluções distintas.
Por que isso? Intuição simples: se
Passo 3
Calcule
.\n
Usando a divisão: . Logo
Usando a divisão:
Como
divide
(pois
), a congruência tem solução(s). Segundo o que falamos, haverá exatamente
soluções distintas módulo
.
Passo 4
Dividimos a congruência por
para simplificar. Dividindo
por
obtemos
porque
,
e
.\n
Explicando: passar para a congruência reduzida é exatamente o passo que transforma o problema em um com coeficiente coprimo ao novo módulo, o que nos permite resolver diretamente.
Explicando: passar para a congruência reduzida é exatamente o passo que transforma o problema em um com coeficiente coprimo ao novo módulo, o que nos permite resolver diretamente.
Passo 5
Resolver a congruência reduzida
. Aqui o coeficiente do
é
, cujo inverso modular é
— portanto a solução única modulo
é
Isto significa que todas as soluções inteiras têm a forma
, com
.
Passo 6
Agora precisamos listar as soluções distintas modulo
. Como
, teremos
classes distintas modulo
. Pegamos
e calculamos
Isso dá os resíduos (mod
):
Verificação rápida: para qualquer um desses
,
portanto todos satisfazem a congruência e são distintos modulo
.
Resposta
Equivalentemente,