Resolva 8 x \equiv 12(\bmod 28).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência
8x \equiv 12 \pmod{28}.
Informações dadas: o coeficiente de x é 8, o termo à direita é 12 e o módulo é 28. A pergunta implícita é: quais são todos os inteiros x que satisfazem essa congruência (normalmente listados como classes de congruência modulo 28 ou em uma forma equivalente)?

Passo 2

Primeiro passo técnico: verificar se existe solução. Para isso precisamos do máximo divisor comum entre o coeficiente e o módulo, isto é calcular \gcd(8,28).
A maneira prática é usar o algoritmo de Euclides:
28 = 8\cdot 3 + 4,
8 = 4\cdot 2 + 0.
Quando chegamos a resto 0, o último resto não nulo é o \gcd. Logo
\gcd(8,28)=4.
Explicação breve: o algoritmo de Euclides consiste em dividir sucessivamente o maior pelo menor e substituir até resto zero; o último resto não nulo é o máximo divisor comum.

Passo 3

Condição de existência de solução: a congruência
a x \equiv b \pmod{n}
tem solução se, e somente se, \gcd(a,n) divide b. Aqui a=8, n=28, b=12 e \gcd(8,28)=4. Verificamos se 4 divide 12.
Como 12 = 4\cdot 3, sim, 4 divide 12. Portanto existem soluções.

Passo 4

Quando \gcd(a,n)=d e d\mid b, podemos dividir a congruência inteira por d (isto é, simplificar coeficiente, termo e módulo) e resolver a congruência reduzida. Aqui d=4. Dividindo por 4 obtemos:
\frac{8}{4}x \equiv \frac{12}{4} \pmod{\frac{28}{4}},
ou seja
2x \equiv 3 \pmod{7}.
Explicação do porquê: dividir por d é permitido porque estamos reduzindo a congruência para uma equivalente sobre classes moduladas por n/d. Isso produz uma congruência cujo coeficiente e módulo são coprimos, o que facilita achar inverso multiplicativo.

Passo 5

Agora resolvemos a congruência reduzida
2x \equiv 3 \pmod{7}.
Como \gcd(2,7)=1, o número 2 tem inverso multiplicativo módulo 7. Precisamos achar 2^{-1} tal que 2\cdot 2^{-1} \equiv 1 \pmod{7}.
Procurando um pequeno inteiro y com essa propriedade: 2\cdot 4 = 8 \equiv 1 \pmod{7}. Então 2^{-1}\equiv 4 \pmod{7}.
Multiplicamos a congruência por 4:
x \equiv 4\cdot 3 \pmod{7}.
Calculando 4\cdot 3 = 12 e reduzindo modulo 7:
12 \equiv 5 \pmod{7}.
Portanto a solução da congruência reduzida é
x \equiv 5 \pmod{7}.
Didática extra: quando o coeficiente é invertível modulo o módulo (ou seja, coprimo com o módulo), a solução é x \equiv a^{-1}b \pmod{m}. Aqui aplicamos exatamente isso com a=2, b=3, m=7.

Passo 6

Voltando à congruência original com módulo 28: a redução por d=4 nos deu uma solução em classes modulo 7. Cada classe modulo 7 corresponde a exatamente d=4 classes distintas modulo 28, porque 28=4\cdot 7. Assim, as soluções da congruência original são todas as classes congruentes a 5 módulo 7, escritas como
x \equiv 5 + 7k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Para listar explicitamente as classes distintas modulo 28 (pegando k=0,1,2,3) temos:
x \equiv 5 \pmod{28},
x \equiv 12 \pmod{28},
x \equiv 19 \pmod{28},
x \equiv 26 \pmod{28}.
Explicação: adicionar 7 muda a classe modulo 28 e, após 4 saltos ( 7\cdot 4=28), voltamos à mesma classe modulo 28. Portanto existem exatamente 4 soluções incongruentes entre si modulo 28.

Passo 7

Resumo prático para a prova (cola mental): ao ver ax\equiv b\pmod{n}, calcule d=\gcd(a,n). Se d\nmid b não tem solução. Se d\mid b, reduza dividindo tudo por d e resolva a congruência com módulo n/d. Depois, as soluções mod n são obtidas adicionando múltiplos de n/d ao representante da solução reduzida; haverá exatamente d soluções distintas modulo n.

Resposta

x \equiv 5 \pmod{28}
x \equiv 12 \pmod{28}
x \equiv 19 \pmod{28}
x \equiv 26 \pmod{28}

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