Resolva
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a congruência
Informações dadas: o coeficiente de
é
, o termo à direita é
e o módulo é
. A pergunta implícita é: quais são todos os inteiros
que satisfazem essa congruência (normalmente listados como classes de congruência modulo
ou em uma forma equivalente)?
Passo 2
Primeiro passo técnico: verificar se existe solução. Para isso precisamos do máximo divisor comum entre o coeficiente e o módulo, isto é calcular
.
A maneira prática é usar o algoritmo de Euclides:
Quando chegamos a resto
, o último resto não nulo é o
. Logo
Explicação breve: o algoritmo de Euclides consiste em dividir sucessivamente o maior pelo menor e substituir até resto zero; o último resto não nulo é o máximo divisor comum.
Passo 3
Condição de existência de solução: a congruência
tem solução se, e somente se,
divide
. Aqui
,
,
e
. Verificamos se
divide
.
Como
, sim,
divide
. Portanto existem soluções.
Passo 4
Quando
e
, podemos dividir a congruência inteira por
(isto é, simplificar coeficiente, termo e módulo) e resolver a congruência reduzida. Aqui
. Dividindo por
obtemos:
ou seja
Explicação do porquê: dividir por
é permitido porque estamos reduzindo a congruência para uma equivalente sobre classes moduladas por
. Isso produz uma congruência cujo coeficiente e módulo são coprimos, o que facilita achar inverso multiplicativo.
Passo 5
Agora resolvemos a congruência reduzida
Como
, o número
tem inverso multiplicativo módulo
. Precisamos achar
tal que
.
Procurando um pequeno inteiro
com essa propriedade:
. Então
.
Multiplicamos a congruência por
:
Calculando
e reduzindo modulo
:
Portanto a solução da congruência reduzida é
Didática extra: quando o coeficiente é invertível modulo o módulo (ou seja, coprimo com o módulo), a solução é
. Aqui aplicamos exatamente isso com
,
,
.
Passo 6
Voltando à congruência original com módulo
: a redução por
nos deu uma solução em classes modulo
. Cada classe modulo
corresponde a exatamente
classes distintas modulo
, porque
. Assim, as soluções da congruência original são todas as classes congruentes a
módulo
, escritas como
Para listar explicitamente as classes distintas modulo
(pegando
) temos:
Explicação: adicionar
muda a classe modulo
e, após
saltos (
), voltamos à mesma classe modulo
. Portanto existem exatamente
soluções incongruentes entre si modulo
.
Passo 7
Resumo prático para a prova (cola mental): ao ver
, calcule
. Se
não tem solução. Se
, reduza dividindo tudo por
e resolva a congruência com módulo
. Depois, as soluções mod
são obtidas adicionando múltiplos de
ao representante da solução reduzida; haverá exatamente
soluções distintas modulo
.