Resolva
e explique por que pode ou não haver solução.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a congruência
Informações dadas:
- O coeficiente de
é . - O módulo é
. - O termo independente (lado direito) é
.
O que se pede: encontrar todos os inteirosque satisfazem essa congruência, ou explicar por que não existe solução.
Passo 2
Entendendo a congruência: dizer que
significa, por definição, que
divide a diferença
. Em símbolos,
Isto quer dizer que existe um inteiro
tal que
Essa é a forma “equacional” da congruência e é útil para raciocinar sobre divisibilidade.
Passo 3
Calcular o divisor comum que interessa: compute
— o máximo divisor comum entre
e
.
Usamos o algoritmo de Euclides:
Usamos o algoritmo de Euclides:
Portanto
. Vou chamar
.
Passo 4
Teorema essencial (explicado de forma simples): a congruência linear
tem solução se, e somente se,
divide
. Justificativa curta:
- Se existir
tal que , então existe com . Como divide e , ele divide o lado direito , e então divide . - Se
divide , escrevemos , , e dividimos a congruência por para obter
Agora
, então
tem inverso multiplicativo mod
e a congruência reduzida tem solução; isso fornece exatamente
classes de solução módulo
.
Esse é o critério que vamos aplicar ao nosso caso.
Passo 5
Aplicando o critério aqui: temos
. Verificamos se
divide
. Como
é ímpar,
. Portanto a condição necessária falha, logo não existe solução.
Uma verificação direta e mais elementar (mesma conclusão): reduzir a congruência módulo
. Como
é múltiplo de
, congruência módulo
implica congruência módulo
. Tomando ambos os lados módulo
,
Mas
para todo inteiro
, e
. Assim obteríamos
, contradição. Logo não há nenhum inteiro
que satisfaça a congruência.
Passo 6
Comentário adicional (útil na prova): se o lado direito fosse divisível por
— por exemplo
— aí sim haveria solução. Nesse caso dividiríamos tudo por
e resolveríamos
onde
tem inverso modulo
(o inverso de
modulo
é
porque
), e obteríamos
. Voltando ao módulo
isso corresponde a duas classes
, ou seja
e
modulo
. Esse parêntese mostra como proceder quando
divide
.
Resposta
Não existe solução (não há inteiro
tal que
).