Resolva 4 x \equiv 9(\bmod 14) e explique por que pode ou não haver solução.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência
4x \equiv 9 \pmod{14}.
Informações dadas:
  • O coeficiente de x é 4.
  • O módulo é 14.
  • O termo independente (lado direito) é 9.
    O que se pede: encontrar todos os inteiros x que satisfazem essa congruência, ou explicar por que não existe solução.

Passo 2

Entendendo a congruência: dizer que
4x \equiv 9 \pmod{14}
significa, por definição, que 14 divide a diferença 4x-9. Em símbolos,
14 \mid (4x-9).
Isto quer dizer que existe um inteiro k tal que
4x-9 = 14k.
Essa é a forma “equacional” da congruência e é útil para raciocinar sobre divisibilidade.

Passo 3

Calcular o divisor comum que interessa: compute \gcd(4,14) — o máximo divisor comum entre 4 e 14.
Usamos o algoritmo de Euclides:
14 = 4\cdot 3 + 2,
4 = 2\cdot 2 + 0.
Portanto \gcd(4,14)=2. Vou chamar d=2.

Passo 4

Teorema essencial (explicado de forma simples): a congruência linear
ax \equiv b \pmod{n}
tem solução se, e somente se, d=\gcd(a,n) divide b. Justificativa curta:
  • Se existir x tal que ax\equiv b\pmod{n}, então existe k com ax-b=nk. Como d divide a e n, ele divide o lado direito ax-b, e então divide b.
  • Se d divide b, escrevemos a=d a', n=d n', b=d b' e dividimos a congruência por d para obter
a'x \equiv b' \pmod{n'}.
Agora \gcd(a',n')=1, então a' tem inverso multiplicativo mod n' e a congruência reduzida tem solução; isso fornece exatamente d classes de solução módulo n.
Esse é o critério que vamos aplicar ao nosso caso.

Passo 5

Aplicando o critério aqui: temos d=\gcd(4,14)=2. Verificamos se d divide 9. Como 9 é ímpar, 2\nmid 9. Portanto a condição necessária falha, logo não existe solução.
Uma verificação direta e mais elementar (mesma conclusão): reduzir a congruência módulo 2. Como 14 é múltiplo de 2, congruência módulo 14 implica congruência módulo 2. Tomando ambos os lados módulo 2,
4x \equiv 9 \pmod{2}.
Mas 4x \equiv 0 \pmod{2} para todo inteiro x, e 9 \equiv 1 \pmod{2}. Assim obteríamos 0 \equiv 1 \pmod{2}, contradição. Logo não há nenhum inteiro x que satisfaça a congruência.

Passo 6

Comentário adicional (útil na prova): se o lado direito fosse divisível por 2 — por exemplo b=8 — aí sim haveria solução. Nesse caso dividiríamos tudo por 2 e resolveríamos
2x \equiv 4 \pmod{7},
onde 2 tem inverso modulo 7 (o inverso de 2 modulo 7 é 4 porque 2\cdot4\equiv1\pmod7), e obteríamos x\equiv 4\cdot 4\equiv 2\pmod7. Voltando ao módulo 14 isso corresponde a duas classes x\equiv 2\pmod7, ou seja x\equiv 2 e x\equiv 9 modulo 14. Esse parêntese mostra como proceder quando \gcd(a,n) divide b.

Resposta

Não existe solução (não há inteiro x tal que 4x\equiv 9\pmod{14}).

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