Questão 5 (2-ponto) Determine o plano tangente ao gráfico da função
, no ponto ( 2,1 ), e calcule para que valor
o ponto
pertence ao plano tangente.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Pede duas coisas:
- Determinar o plano tangente ao gráfico de
no ponto . - Calcular para que valor de
o ponto pertence a esse plano tangente.
Informações relevantes dadas:
- A função explícita
. - O ponto do plano tangente é o ponto da superfície com coordenadas
(o valor de nesse ponto será , que calcularemos adiante). - Queremos a equação do plano tangente e então verificar/achar
tal que satisfaça essa equação.
Passo 2
Conceito usado (explicado devagar): se temos uma superfície dada por
com
diferenciável, o plano tangente em
(onde
) é a aproximação linear de
perto desse ponto. A fórmula é
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a : mede a inclinação da superfície quando você se move só na direção (com fixo). -
é a derivada parcial de em relação a : mede a inclinação quando você se move só na direção (com fixo).
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivada parcial em relação a
: trate
como constante e derive
.
Derivada parcial em relação a
: trate
como constante e derive
.
Expliquei: a derivada de
em relação a
é
; quando derivamos em relação a
termos que só dependem de
são constantes (derivada zero). Análogo para
.
Passo 4
Avaliar as derivadas no ponto
e calcular
.
Primeiro as derivadas:
Agora o valor de
:
Então o ponto na superfície é
.
Passo 5
Montar a equação do plano tangente usando a fórmula da aproximação linear:
Substituindo os números:
Passo 6
Simplificar a equação do plano passo a passo:
Começo expandindo os parênteses:
Começo expandindo os parênteses:
Agora somo os termos constantes
:
Logo a forma simplificada é
Esta é a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 7
Determinar
para que o ponto
pertença ao plano: basta substituir
e
na equação do plano e calcular
.
Substituindo:
Portanto
e o ponto
pertence ao plano tangente.