Questão 5 (2-ponto) Determine o plano tangente ao gráfico da função f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}, no ponto ( 2,1 ), e calcule para que valor t o ponto (1,3, t) pertence ao plano tangente.

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x,y)=x^{2}+2y^{2}\; e o ponto \;(2,1)\;. Pede duas coisas:
  1. Determinar o plano tangente ao gráfico de f no ponto (2,1).
  2. Calcular para que valor de t o ponto (1,3,t) pertence a esse plano tangente.
Informações relevantes dadas:
  • A função explícita \;f(x,y)=x^{2}+2y^{2}\;.
  • O ponto do plano tangente é o ponto da superfície com coordenadas (x_0,y_0)=(2,1) (o valor de z nesse ponto será \;f(2,1)\;, que calcularemos adiante).
  • Queremos a equação do plano tangente e então verificar/achar t tal que (1,3,t) satisfaça essa equação.

Passo 2

Conceito usado (explicado devagar): se temos uma superfície dada por \;z=f(x,y)\; com f diferenciável, o plano tangente em (x_0,y_0,z_0) (onde \;z_0=f(x_0,y_0)\;) é a aproximação linear de f perto desse ponto. A fórmula é
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui:
  • \;f_x(x,y)\; é a derivada parcial de f em relação a x: mede a inclinação da superfície quando você se move só na direção x (com y fixo).
  • \;f_y(x,y)\; é a derivada parcial de f em relação a y: mede a inclinação quando você se move só na direção y (com x fixo).
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+2y^{2}.
Derivada parcial em relação a x: trate y como constante e derive x^{2}.
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+2y^{2}\big)=2x + 0 = 2x.
Derivada parcial em relação a y: trate x como constante e derive 2y^{2}.
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+2y^{2}\big)=0 + 4y = 4y.
Expliquei: a derivada de x^{2} em relação a x é 2x; quando derivamos em relação a x termos que só dependem de y são constantes (derivada zero). Análogo para y.

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto (x_0,y_0)=(2,1) e calcular z_0=f(2,1).
Primeiro as derivadas:
f_x(2,1)=2\cdot 2 = 4,
f_y(2,1)=4\cdot 1 = 4.
Agora o valor de z_0:
f(2,1)=2^{2}+2\cdot 1^{2}=4+2=6.
Então o ponto na superfície é (2,1,6).

Passo 5

Montar a equação do plano tangente usando a fórmula da aproximação linear:
z = f(2,1) + f_x(2,1)\,(x-2) + f_y(2,1)\,(y-1).
Substituindo os números:
z = 6 + 4\,(x-2) + 4\,(y-1).

Passo 6

Simplificar a equação do plano passo a passo:
Começo expandindo os parênteses:
z = 6 + 4x - 8 + 4y - 4.
Agora somo os termos constantes 6-8-4:
6-8-4 = -6.
Logo a forma simplificada é
z = 4x + 4y - 6.
Esta é a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (2,1).

Passo 7

Determinar t para que o ponto (1,3,t) pertença ao plano: basta substituir x=1 e y=3 na equação do plano e calcular z.
Substituindo:
t = z = 4\cdot 1 + 4\cdot 3 - 6 = 4 + 12 - 6 = 10.
Portanto \;t=10\; e o ponto (1,3,10) pertence ao plano tangente.

Resposta

z = 4x + 4y - 6
t = 10

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