encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
Nos problemas de 15 a 24 , encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
17. \begin{array}{rr}-2 & 1 \\\\ 1 & -2\end{array}

Passo 1

O problema pede para achar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}-2 & 1\\\ 1 & -2\end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de autovalores (solução do determinante característico) e, em seguida, autovetores (resolver (A-\lambda I)v=0).

Passo 2

Para encontrar os autovalores calculamos o determinante da matriz (A-\lambda I):
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}-2-\lambda & 1\\\ 1 & -2-\lambda\end{pmatrix} =( -2-\lambda )^2 - 1.
Logo a equação característica é
( -2-\lambda )^2 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2 + 4\lambda + 3 = 0.

Passo 3

Resolvendo \lambda^2 + 4\lambda + 3 = 0 por fatoração:
\lambda^2 + 4\lambda + 3 = (\lambda + 1)(\lambda + 3) = 0
Então os autovalores são
\lambda_1 = -1 \quad\text{e}\quad \lambda_2 = -3.

Passo 4

Para \lambda_1 = -1 resolvemos (A + I)v = 0:
A - (-1)I = A + I =\begin{pmatrix}-2+1 & 1\\\ 1 & -2+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
A equação \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 -x + y = 0, ou seja y = x.
Assim os autovetores correspondentes a \lambda_1=-1 são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2 = -3 resolvemos (A + 3I)v = 0:
A - (-3)I = A + 3I =\begin{pmatrix}-2+3 & 1\\\ 1 & -2+3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
A equação \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 x + y = 0, ou seja y = -x.
Portanto os autovetores para \lambda_2=-3 são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
\lambda_1 = -1, com espaço próprio gerado por
\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
\lambda_2 = -3, com espaço próprio gerado por
\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.

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