encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
Nos problemas de 15 a 24 , encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
\begin{array}{ll}3 & -2 \\\\ 4 & -1\end{array}

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}3 & -2\\[6pt]4 & -1\end{pmatrix}
e pede todos os autovalores e autovetores. O conteúdo aqui é teoria de valores e vetores próprios: vamos precisar montar o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0, encontrar as raízes \lambda (os autovalores) e depois, para cada \lambda, resolver (A - \lambda I)v=0 para obter os autovetores v.]

Passo 2

Calcular o determinante de A - \lambda I. Temos
A - \lambda I = \begin{pmatrix}3-\lambda & -2\\[4pt]4 & -1-\lambda\end{pmatrix},
então
\det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)\cdot4.
Expandindo,
(3-\lambda)(-1-\lambda) = \lambda^2 -2\lambda -3,
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\det(A - \lambda I) = (\lambda^2 -2\lambda -3) +8 = \lambda^2 -2\lambda +5.]

Passo 3

O polinômio característico é
\lambda^2 - 2\lambda + 5 = 0.
Calculamos o discriminante \Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 4 -20 = -16.
Como \Delta<0, os autovalores são complexos:
\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = 1 \pm 2\,\mathrm{i}.

Passo 4

Para obter o autovetor associado a \lambda_1 = 1+2\mathrm{i}, resolvemos
(A - \lambda_1 I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 3-(1+2\mathrm{i}) & -2\\[4pt] 4 & -1-(1+2\mathrm{i}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0.
Isto é
\begin{pmatrix} 2 - 2\mathrm{i} & -2\\[4pt] 4 & -2 - 2\mathrm{i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha vem (2-2\mathrm{i})x - 2y = 0, ou seja
y = \frac{2-2\mathrm{i}}{2}\,x = (1 - \mathrm{i})\,x.
Tomando x=1, um autovetor correspondente é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1-\mathrm{i}\end{pmatrix}.]

Passo 5

De modo análogo, para \lambda_2 = 1-2\mathrm{i} obtemos o sistema
\begin{pmatrix} 2 + 2\mathrm{i} & -2\\[4pt] 4 & -2 + 2\mathrm{i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; y = (1 + \mathrm{i})\,x.
Escolhendo x=1, um autovetor associado é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1+\mathrm{i}\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores são
\lambda_1 = 1 + 2\mathrm{i} e \lambda_2 = 1 - 2\mathrm{i}.
Os autovetores correspondentes podem ser escolhidos como
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1-\mathrm{i}\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1+\mathrm{i}\end{pmatrix}.

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