encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
Nos problemas de 15 a 24 , encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
Nos problemas de 15 a 24 , encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
e pede todos os autovalores e autovetores. O conteúdo aqui é teoria de valores e vetores próprios: vamos precisar montar o polinômio característico
, encontrar as raízes
(os autovalores) e depois, para cada
, resolver
para obter os autovetores
.]
Passo 2
Calcular o determinante de
. Temos
então
Expandindo,
logo
Passo 3
O polinômio característico é
Calculamos o discriminante
.
Como , os autovalores são complexos:
Como
Passo 4
Para obter o autovetor associado a
, resolvemos
Isto é
Da primeira linha vem
, ou seja
Tomando
, um autovetor correspondente é
Passo 5
De modo análogo, para
obtemos o sistema
Escolhendo
, um autovetor associado é
Resposta
Os autovalores são
e
.
Os autovetores correspondentes podem ser escolhidos como
Os autovetores correspondentes podem ser escolhidos como