encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
Nos problemas de 15 a 24 , encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
18. \begin{array}{rr}1 & i \\\\ -i & 1\end{array}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todos os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & i\\\\ -i & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo principal aqui é a definição de autovalores via polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 e, em seguida, resolver (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A. Temos
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & i\\\\ -i & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)^2 - (i)(-i).
Como i\cdot(-i)=-i^2=1, isso dá
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)^2 - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; (1-\lambda)^2 = 1.
Logo as soluções são
1-\lambda = \pm 1 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 1-\lambda = 1 &\Rightarrow \lambda = 0,\\\\ 1-\lambda = -1 &\Rightarrow \lambda = 2. \end{cases}

Passo 3

Para \lambda=0, resolvemos
A\,v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}1 & i\\\\ -i & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
A primeira equação é x + i\,y = 0, ou seja x = -i\,y. Tomando y=1 (qualquer múltiplo escalar serve), obtemos o autovetor
v_1 = \begin{pmatrix}-i\\\\ 1\end{pmatrix}
associado a \lambda=0.

Passo 4

Para \lambda=2, resolvemos
(A - 2I)\,v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-1 & i\\\\ -i & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
A primeira equação dá -x + i\,y = 0, logo x = i\,y. Tomando y=1, um autovetor é
v_2 = \begin{pmatrix}i\\\\ 1\end{pmatrix}
associado a \lambda=2.

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são
\lambda_1 = 0,\quad v_1 = \begin{pmatrix}-i\\\ 1\end{pmatrix}; \qquad \lambda_2 = 2,\quad v_2 = \begin{pmatrix}i\\\ 1\end{pmatrix},
sendo que quaisquer múltiplos escalares de v_1 e v_2 também são autovetores correspondentes.

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