Encontre todos os extremos locais e pontos de sela das funções no itens abaixo.
Passo 1
O enunciado pede os extremos locais e pontos de sela de
que é um problema de otimização em multivariáveis. Vamos encontrar primeiro os pontos críticos resolvendo
, depois classificar cada ponto crítico usando o determinante da matriz Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 3
Igualamos
e
, obtendo o sistema
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Logo
. Há um único ponto crítico
.
Passo 4
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem para formar a Hessiana:
O determinante da Hessiana é
Passo 5
Como
e
, o ponto crítico
é um máximo local. Não há mínimo local nem ponto de sela.
Resposta
O único extremo local é um máximo em
. Não existem mínimos locais nem pontos de sela.