Encontre todos os extremos locais e pontos de sela das funções no itens abaixo.
f(x, y)=-5 x^{2}+2 x y-2 y^{2}+4 x-4

Passo 1

O enunciado pede os extremos locais e pontos de sela de
f(x,y)=-5x^{2}+2xy-2y^{2}+4x-4,
que é um problema de otimização em multivariáveis. Vamos encontrar primeiro os pontos críticos resolvendo
\nabla f=(f_x,f_y)=(0,0), depois classificar cada ponto crítico usando o determinante da matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = -10x + 2y + 4,
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2x - 4y.

Passo 3

Igualamos f_x=0 e f_y=0, obtendo o sistema
-10x + 2y + 4 = 0,
2x - 4y = 0.
Da segunda equação vem x=2y. Substituindo na primeira:
-10(2y)+2y+4=0 \implies -20y+2y+4=0 \implies -18y=-4 \implies y=\tfrac{2}{9}.
Logo x=2y=\tfrac{4}{9}. Há um único ponto crítico \bigl(\tfrac{4}{9},\tfrac{2}{9}\bigr).

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem para formar a Hessiana:
f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -10, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = 2, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -4.
O determinante da Hessiana é
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-10)(-4) - 2^2 = 40 - 4 = 36 > 0.

Passo 5

Como D>0 e f_{xx}=-10<0, o ponto crítico \bigl(\tfrac{4}{9},\tfrac{2}{9}\bigr) é um máximo local. Não há mínimo local nem ponto de sela.

Resposta

O único extremo local é um máximo em \displaystyle\bigl(\tfrac{4}{9},\tfrac{2}{9}\bigr). Não existem mínimos locais nem pontos de sela.

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