Exercício 2. Calcule os fluxos dos campos vetoriais \bar{F} dados nas superfícies S especificadas.
\vec{F}(x, y, z)=\left(z e^{x y}, 3 z e^{x y}, x y\right), S é o paralelogramo com equações paramétricas x= u+v, y=u-v \mathrm{e} z=1+2 u+v, 0 \leq u \leq 2,0 \leq v \leq 1, com orientação positiva.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
\vec F(x,y,z)=\bigl(z e^{xy},\,3z e^{xy},\,xy\bigr)
através da superfície S paramétrica
r(u,v)=\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr) =(u+v,\;u-v,\;1+2u+v),
com \;0\le u\le2,\;0\le v\le1\; e orientação “positiva” (isto é, normal com componente z>0).
Para calcular o fluxo vamos usar a fórmula
\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S =\iint_{D}\vec F\bigl(r(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\pm\,(r_u\times r_v)\bigr)\,du\,dv,
escolhendo o sinal “ +” se a componente z de r_u\times r_v já for positiva, ou “ -” caso contrário.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de r:
r_u=(\partial_u x,\partial_u y,\partial_u z)=(1,\,1,\,2), \quad r_v=(\partial_v x,\partial_v y,\partial_v z)=(1,\,-1,\,1).
O produto vetorial é
r_u\times r_v =\begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\\ 1&1&2\\\\ 1&-1&1 \end{vmatrix} =(3,\,1,\,-2).
Note que a componente z desse vetor é -2<0, ou seja, aponta para baixo. Como queremos a orientação “positiva” (isto é, normal com z>0), definimos
\mathbf n=r_v\times r_u=(-3,\,-1,\,2).

Passo 3

Avalie \vec F sobre a parametrização:
x=u+v,\quad y=u-v,\quad z=1+2u+v, \quad xy=(u+v)(u-v)=u^2-v^2,
\vec F\bigl(r(u,v)\bigr) =\bigl((1+2u+v)e^{\,u^2-v^2},\;3(1+2u+v)e^{\,u^2-v^2},\;u^2-v^2\bigr).
O produto escalar com \mathbf n é
\vec F\cdot\mathbf n =-3\,(1+2u+v)e^{u^2-v^2} \;-\;(1)\,3(1+2u+v)e^{u^2-v^2} \;+\;2\,(u^2-v^2)
=-6\,(1+2u+v)\,e^{u^2-v^2} \;+\;2\,(u^2-v^2).

Passo 4

O fluxo será a integral dupla em (u,v)\in[0,2]\times[0,1]:
\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S =\int_{u=0}^{2}\!\int_{v=0}^{1} \bigl[-6(1+2u+v)e^{u^2-v^2}+2(u^2-v^2)\bigr] \,dv\,du.
Podemos separar em duas integrais:
I_1=-6\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{1}(1+2u+v)e^{u^2-v^2}\,dv\,du, \quad I_2=2\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{1}(u^2-v^2)\,dv\,du.
A parte polinomial I_2 é elementar:
\int_{0}^{1}(u^2-v^2)\,dv =u^2\cdot1-\frac{1^3}{3}=u^2-\tfrac13,
\int_{0}^{2}\bigl(u^2-\tfrac13\bigr)\,du =\frac{2^3}{3}-\frac23 =\frac{8-2}{3}=2,
logo I_2=2\cdot2=4.

Passo 5

Fica, portanto, o fluxo como
\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S =-6\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{1}(1+2u+v)e^{u^2-v^2}\,dv\,du \;+\;4.

Resposta

\boxed{ \iint_{S}\vec F\cdot d\vec S =-6\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{1}(1+2u+v)\,e^{\,u^2-v^2}\,dv\,du \;+\;4. }

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