Seja S=1!+2!+3!+\cdots+n!. Determine todos os valores naturais de n tais que S é um número primo.

Passo 1

O enunciado define
S = 1! + 2! + 3! + \cdots + n!
e pede todos os n\in\mathbb{N} para os quais S é primo. Vamos usar noções de fatoriais, divisibilidade e primalidade.

Passo 2

Vamos calcular S para os primeiros valores de n:
Para n=1:
S = 1! = 1,
que não é primo.
Para n=2:
S = 1! + 2! = 1 + 2 = 3,
que é primo.

Passo 3

Para n\ge3, note que todo k! com k\ge3 é múltiplo de 3. Logo,
\sum_{k=3}^n k! \equiv 0 \pmod{3}.
Assim
S = 1! + 2! + \sum_{k=3}^n k! \equiv 1 + 2 + 0 \equiv 0 \pmod{3}.

Passo 4

Para n\ge3, tem-se S\ge1!+2!+3!=9 e S é divisível por 3, logo composto. A única possibilidade de S ser primo é n=2.

Resposta

\displaystyle n=2

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