Encontre todos os inteiros positivos
e
tais que:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os inteiros positivos
tais que
O conteúdo é técnica de divisão com resto em polinômios e um argumento de “tamanho” (bound) para reduzir a enumeração de soluções.
Passo 2
Para aplicar Euclides, observe que é mais fácil trabalhar com números inteiros se multiplicarmos por 2:
Agora dividimos
por
. Note que
Isto mostra que o resto dessa divisão é
Como
divide
se e somente se divide
, concluímos
Passo 3
Dessa divisibilidade segue
Como
, temos
sempre que
. Logo a desigualdade vira
O polinômio
tem raízes
A raiz positiva é cerca de
, então
só para
inteiros em
Passo 4
Basta testar
na condição
:
- Para
: e . De fato . - Para
: e . Mas . - Para
: e . Mas .
Resposta
A única solução em inteiros positivos é
.