Encontre todos os inteiros positivos m e n tais que:
(c) 2 n^{2}+1 \mid n^{3}+9 n+17

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os inteiros positivos n tais que
2n^{2}+1 \mid n^{3}+9n+17.
O conteúdo é técnica de divisão com resto em polinômios e um argumento de “tamanho” (bound) para reduzir a enumeração de soluções.

Passo 2

Para aplicar Euclides, observe que é mais fácil trabalhar com números inteiros se multiplicarmos por 2:
2\bigl(n^{3}+9n+17\bigr)=2n^{3}+18n+34.
Agora dividimos 2n^{3}+18n+34 por 2n^{2}+1. Note que
2n^{3}+18n+34 = n\cdot(2n^{2}+1)\;+\;\bigl(-n+34\bigr).
Isto mostra que o resto dessa divisão é
R = -n + 34.
Como 2n^{2}+1 divide n^{3}+9n+17 se e somente se divide 2(n^{3}+9n+17), concluímos
2n^{2}+1 \mid n^{3}+9n+17 \quad\Longrightarrow\quad 2n^{2}+1 \mid R = 34 - n.

Passo 3

Dessa divisibilidade segue
2n^{2}+1 \le |34-n|.
Como n>0, temos 34-n\ge0 sempre que n\le34. Logo a desigualdade vira
2n^{2}+1 \le 34 - n \quad\Longleftrightarrow\quad 2n^{2}+n -33 \le 0.
O polinômio 2n^{2}+n-33 tem raízes
n = \frac{-1\pm\sqrt{1+264}}{4} = \frac{-1\pm\sqrt{265}}{4} \approx \frac{-1\pm16,28}{4}.
A raiz positiva é cerca de 3,82, então 2n^{2}+n-33\le0 só para n inteiros em
1 \le n \le 3.

Passo 4

Basta testar n=1,2,3 na condição 2n^{2}+1 \mid 34-n:
  • Para n=1: 2\cdot1^2+1=3 e 34-1=33. De fato 3\mid33.
  • Para n=2: 2\cdot2^2+1=9 e 34-2=32. Mas 9\nmid32.
  • Para n=3: 2\cdot3^2+1=19 e 34-3=31. Mas 19\nmid31.

Resposta

A única solução em inteiros positivos é n=1.

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